Question

X^4-8X²+1求极值，凹凸区间，拐点，和在区间［-1，3］上的最值

Answer 1

问：X^4-8X²+1求极值，凹凸区间，拐点，和在区间［-1，3］上的最值

答：亲亲~您好哈~，很荣幸为您解答哟~。X^4-8X²+1求极值，凹凸区间，拐点，和在区间［-1，3］上的最值回答如下：要求函数 f(x) = x^4 - 8x^2 + 1 的极值、凹凸区间、拐点以及在区间 [-1, 3] 上的最值，我们需要进行以下步骤：求导数：计算 f(x) 的一阶和二阶导数。f'(x) = 4x^3 - 16xf''(x) = 12x^2 - 16求解一阶导数为零的点，即 f'(x) = 0 的解。4x^3 - 16x = 04x(x^2 - 4) = 0得到 x = 0 或 x = -2 或 x = 2。

答：补充如下：确定极值点：a) 对于 x = 0，f''(0) = -16，小于零，因此 x = 0 是极大值点。b) 对于 x = -2，f''(-2) = 20，大于零，因此 x = -2 是极小值点。c) 对于 x = 2，f''(2) = 20，大于零，因此 x = 2 是极小值点。确定凹凸区间和拐点：a) 对于 f''(x) > 0，函数 f(x) 凹向上，即凹区间是 (-∞, -2) 和 (2, +∞)。b) 对于 f''(x) < 0，函数 f(x) 凹向下，即凸区间是 (-2, 0) 和 (0, 2)。c) 拐点为凹凸区间的交界点，即 x = -2 和 x = 2。计算最值：a) 在闭区间 [-1, 3] 内，需要比较函数在端点和关键点上的函数值。f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 + 1 = 10f(3) = 3^4 - 8(3)^2 + 1 = -32b) 比较关键点的函数值：f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 1 = 33f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 + 1 = 1f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 1 = -15c) 最大值为 33，最小值为 -32。