Question

莱布尼兹公式求高阶导

Answer 1

问：莱布尼兹公式求高阶导

答：莱布尼兹公式可以用来计算两个函数的乘积的高阶导数。设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是连续可微的函数，$n$ 是一个非负整数，则有：$$\frac{d^n}{dx^n}(f(x)g(x))=\sum_{k=0}^n {n\choose k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$$其中，${n\choose k}$表示组合数，即从$n$个不同元素中取$k$个元素的组合数，计算公式为：$${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$其中，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$。而$f^{(k)}(x)$和$g^{(n-k)}(x)$分别表示$f(x)$和$g(x)$的$k$阶和$(n-k)$阶导数。当 $n=1$ 时，莱布尼兹公式变为：$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$当 $n=2$ 时，莱布尼兹公式变为：$$\frac{d^2}{dx^2}(f(x)g(x))=f''(x)g(x)+2

答：当 $n=2$ 时，莱布尼兹公式变为：$$\frac{d^2}{dx^2}(f(x)g(x))=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)$$以此类推，可以得到任意阶的导数。

答：亲我们看不了图片的

答：有什么问题可以打字提问么

问：题目我已经发给您了，就是图片里面的题，

答：你好我看不到图片哦

答：你可以以文字的方式向我提问

问：[例31]设f(x) = xInx,求f(n)(1)(n≥2). 用莱布尼茨公式和高阶导公式，

答：莱布尼茨公式：根据莱布尼茨公式，f(n)(x)可表示为：f(n)(x) = ∑[k=0][n]（n C k）k!（-1）^(n-k)x^(k-n)其中，n C k 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。代入 f(x) = xInx，得：f(n)(x) = ∑[k=0][n]（n C k）k!（-1）^(n-k)x^(k-n)Inx将 x = 1 代入 f(n)(x) 中，得：f(n)(1) = ∑[k=0][n]（n C k）k!（-1）^(n-k)In1 = ∑[k=0][n]（n C k）k!（-1）^(n-k) × 0 = 0因为 In1 = 0。高阶导公式：对 f(x) = xInx 求 n 次导数，可以使用以下公式：f(n)(x) = xInx + n∑[k=1][n]F(k, n)x^(k-n)Inx其中，F(k, n) 表示第二类斯特林数。代入 f(x) = xInx，得：f(n)(x) = xInx + n∑[k=1][n]F(k, n)x^(k-n)Inx = xInx + n∑[

答：代入 f(x) = xInx，得：f(n)(x) = xInx + n∑[k=1][n]F(k, n)x^(k-n)Inx = xInx + n∑[k=1][n]F(k, n)x^(k-n) ln x将 x = 1 代入，得：f(n)(1) = 1 + n∑[k=1][n]F(k, n) × 0 = 1因为 F(k, n) 表示的是将 n 个元素划分成 k 个非空集合的方案数，而当 k = n 时，只有一种划分，即每个元素单独成一组，所以 F(n, n) = 1，因此上式中的求和式中只有一项为非零，即 k = n，因此 f(n)(1) = 1。