Question

一阶齐次线方程组的所有解构成几维线性空间

Answer 1

问：一阶齐次线方程组的所有解构成几维线性空间

答：对于一个具有n个未知数的一阶齐次线性方程组,其所有解构成一个n维线性空间。线性空间是指满足线性运算封闭性的集合，其中线性运算包括向量的加法和标量乘法。对于一阶齐次线性方程组，每个未知数可视为线性空间的一一个维度。因此，该线性方程组的所有解构成了一个与未知数个数相等的线性空间。具体来说，对于含有n个未知数的一阶齐次线性方程组，若该方程组有r个线性无关解(r≤n) ，则该方程组的解空间维度为n-r。这意味着解空间中存在n-r个自由变量，可以取任意实数值，而其他变量则由这些自由变量确定。举例说明，考虑一个含有3个未知数x、y和z的一阶齐次线性方程组。如果该方程组有2个线性无关解，那么解空间维度为3- 2=1,即解空间是一个一维线性空间。此时，解空间中的解可以表示为某个特定解(基础解系)加上关于t的线性组合(自由变量)， 其中t为实数。总之，一阶齐次线性方程组的所有解构成一个n维线性空间，其中n为未知数的个数。解空间的维度取决于线性无关解的个数，可通过自由变量的选择和线性组合来表示该解空间中的所有解。