Question

f(x)=log2(ax+1);g(x)=f(x)+log2x,只有一个零点,求a的取值范围

Answer 1

问：f(x)=log2(ax+1);g(x)=f(x)+log2x,只有一个零点,求a的取值范围

答：f(x)=log2(ax+1) 中的函数f(x)是一个对数函数，其中a为常数。根据对数函数的性质，当ax+1=2^0=1时，f(x)取值为0。于是，要使得f(x)只有一个零点，即方程ax+1=1只有一个解哦。根据方程ax+1=1，我们可以解得x=-1/a。由于只有一个零点，说明该点为函数f(x)=log2(ax+1) 的唯一零点。而对数函数的定义域为正实数集，即ax+1>0。于是，要使得f(x)只有一个零点，需要满足两个条件： a≠0，否则方程无解； -1/a>0，即a<0，使得x=-1/a在定义域内。所以，a的取值范围为a<0哦。

问：用图像法来解

答：对于函数f(x)=log2(ax+1)，我们可以分析其性质来确定a的取值范围。由于log2函数的定义域为正实数，所以ax+1>0，解得x>-1/a。又因为log2函数的值域为全体实数，所以对于任意的a，函数f(x)的值域也为全体实数。而对于函数g(x)=f(x)+log2x，我们可以看出g(x)存在一个零点，即g(x)=0只有一个解。由于log2x的定义域为正实数，所以x>0。于是，要使得g(x)=0只有一个解，那样f(x)的值域不能包含0。即log2(ax+1)不能等于-log2x，即ax+1≠1/x，解得ax^2+x-1≠0。由于这是一个二次方程，当且仅当其判别式D=1-4a<0时，才能保证方程没有实数解。所以，a的取值范围为a<1/4哦。

问：两个答案不一样，到底哪个是正确的？

答：亲，用图像法的a值的取值范围为a<1/4哦

问：好