Question

变量+X~N(0,1),+求下列随机变量Y的概率密度函数;-|||-K-1;+(2)Y=e^(-x)+(提示

Answer 1

问：变量+X~N(0,1),+求下列随机变量Y的概率密度函数;-|||-K-1;+(2)Y=e^(-x)+(提示

答：首先，我们需要根据题目中给出的随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$，求出随机变量 $Y$ 的概率密度函数。对于第一个问题，设 $Y = |X| - K$，则有：$$ P(Y \leq y) = P(|X| - K \leq y) = P(-y+K \leq |X| \leq y+K) $$因为 $X \sim N(0,1)$，所以 $|X|$ 也是服从标准正态分布 $N(0,1)$ 的。因此，上式可以进一步转化为：$$ P(Y \leq y) = 2\Phi(y+K) - 1 $$其中，$\Phi(\cdot)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。因此，$Y$ 的概率密度函数为：$$ f_Y(y) = \frac{d}{dy}P(Y \leq y) = 2\phi(y+K) $$其中，$\phi(\cdot)$ 表示标准正态分布的概率密度函数。因此，得到了随机变量 $Y$ 的概率密度函数：$f_Y(y) = 2\phi(y+K)$。

答：对于第二个问题，设 $Y=e^{-X}$，则有：$$ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(e^{-X} \leq y) = P(X \geq -\ln(y)) $$因为 $X \sim N(0,1)$，所以 $-X \sim N(0,1)$。因此，我们可以得到：$$ F_Y(y) = P(-X \geq \ln(y)) = 1 - \Phi(\ln(y)) $$其中，$\Phi(\cdot)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。接下来，我们需要求出 $Y$ 的概率密度函数。因为 $Y$ 是单调递减的函数，所以有：$$ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy} g^{-1}(y)\right| $$其中，$g(x) = e^{-x}$ 表示 $Y$ 关于 $X$ 的变换函数，$g^{-1}(y) = -\ln(y)$ 表示 $X$ 关于 $Y$ 的反变换函数。因此，我们可以计算出：$$ \begin{aligned} f_Y(y) &= f_X(-\ln(y))\left|\frac{d}{dy} (-\ln(y))\right| \ &= f_X(-\ln(y))\frac{1}{y} \ &= \frac{1}{y\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(-\ln(y))^2}{2}} \ &= \frac{1}{y\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\ln^2(y)}{2}} \ &= \frac{1}{y\sqrt{2\pi}}y^{-\frac{1}{2}} \ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}y^{\frac{3}{2}}} \end{aligned} $$因此，$Y$ 的概率密度函数为：$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}y^{\frac{3}{2}}}$。

问：是这题

答：(1) 由于X~N(0,1)，则Y=2X-1也是一个正态分布，其概率密度函数为：f(y) = (1/√(2π)) * e^(-[(y+1)/2]^2)(2) 由于Y=e^(-X)，所以有 Y > 0。设F(y)为Y的分布函数，则有：F(y) = P(Y ≤ y) = P(e^(-X) ≤ y) = P(X ≥ -ln(y)) = 1 - Φ(-ln(y))其中，Φ(x)为标准正态分布的分布函数。对上式两边求导，得到Y的概率密度函数为：f(y) = dF(y)/dy = (1/ln(2)) * y^(-1) * e^(-ln(y)^2/2)其中，y ∈ (0,1]。