Question

4.已知 |3x+4y-2|+(x-5y+3k-1)^2=0 ,若y>-1,求k的取值范围.

Answer 1

问：4.已知 |3x+4y-2|+(x-5y+3k-1)^2=0 ,若y>-1,求k的取值范围.

答：首先，观察到方程左边的两项分别是绝对值和平方，因此它们的和必须非负，即：|3x + 4y - 2| + (x - 5y + 3k - 1)² ≥ 0接下来，考虑绝对值的取值范围，有两种情况：当 3x + 4y - 2 ≥ 0 时，有 |3x + 4y - 2| = 3x + 4y - 2；当 3x + 4y - 2 0 时，有 |3x + 4y - 2| = -(3x + 4y - 2) = -3x - 4y + 2。将这些代入原方程，得到：（1）当 3x + 4y - 2 ≥ 0 时，原方程化为：3x + 4y - 2 + (x - 5y + 3k - 1)² ≥ 0化简得：x² + (7y - 3k - 1) x + (25y² - 14ky + 3k² - 4y + 3) ≥ 0对于任意的 x，上式都应该成立，因此它的判别式 D 必须小于等于 0：D = (7y - 3k - 1)² - 4(25y² - 14ky + 3k² - 4y + 3) ≤ 0化简得：-11k² + 98ky - 199y² + 56k - 28y + 13 ≤ 0这是一个关于 k 的二次不等式，可以通过求解其判别式来得到解的范围：Δ = 4(98y - 199)(56y - 28) - 11(56y - 28)² = -11(147y - 316)(4y - 1)因为 y > -1，所以 4y - 1 > -5，因此 Δ ≤ 0 当且仅当 147y - 316 ≥ 0，即 y ≥ 316/147。综上，对于所有满足 y ≥ 316/147 的 y，k 的取值范围为负无穷到正无穷。（2）当 3x + 4y - 2 < 0 时，原方程化为：-3x - 4y + 2 + (x - 5y + 3k - 1)² ≥ 0化简得：x² + (7y - 3k - 1) x + (25y² - 14ky + 3k² + 4y - 1) ≥ 0这个不等式对于任意的 x 都成立，因此它的判别式 D 必须小于等于 0：D = (7y - 3k - 1)² - 4(25y² - 14ky + 3k² + 4y - 1) ≤ 0化简得：-11k² + 98ky - 199y² - 56k - 28y + 1

答：3 ≤ 0这也是一个关于 k 的二次不等式，可以通过求解其判别式来得到解的范围：Δ = 4(98y - 199)(56y + 28) - 11(56y + 28)² = -11(147y - 244)(4y + 7)因为 y > -1，所以 4y + 7 > 3，因此 Δ ≤ 0 当且仅当 147y - 244 ≤ 0，即 y ≤ 244/147。综上，对于所有满足 y ≤ 244/147 的 y，k 的取值范围为负无穷到正无穷。综合上述两种情况，k 的取值范围为负无穷到正无穷。

问：能整理一下吗