18.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,8). (1)求直线AB的函数解析式;
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(2)设点P为x轴上一点,且∠BAO=2∠BPA,求点P的坐标.

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楣青枫01z

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摘要您好，以下是我为您做出的解答，希望能解决您的问题。

由题可得，直线AB与x轴的交点是A(4,0)，且与y轴的交点是B(0,8)，因此直线AB的斜率为 $k = \frac{8-0}{0-4} = -2$。

直线AB的解析式为：$y = kx + b$。

代入k和A点的坐标，得到：$0 = -8 + b$，$b = 8$。

直线AB的函数解析式是：$y = -2x + 8$。

作射线OA和OP，交直线AB于点C和点D。

由题知 $\angle BAO = 2\angle BPA$，因此有：$\angle BAD = \angle BAO + \angle OAB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$，$\angle BPC = \angle BAD = 90^\circ$。

又因为直线AB与x轴平行，故有$\angle ODC = 90^\circ$，因此四边形OPCD为矩形。

设点P的坐标为$(P,0)$，则有：$AC = 4 - P$（由点A、C在直线AB上可知），$BC = 8 - P$（由点B、C在直线AB上可知），$CD = P$。

又因为四边形OPCD为矩形，所以有：$AC = BD$，$BC = OD$。

故有：$4 - P = 8\cos\angle BPA$，$8 - P = 4\sin\angle BPA$。

将$\angle BPA$表示成P的函数，有：$\frac{\sin\angle BPA}{\cos\angle BPA} = \tan\angle BPA = \frac{BC}{OB} = \frac{3}{4}$，$\angle BPA = \arctan(\frac{3}{4})$。

因此，$P = 8 - 4\sin(\angle BPA) = 8 - 4\sin(\arctan(\frac{3}{4})) \approx 3.79$。

因此，点P的坐标为$(P,0) \approx (3.79,0)$。

咨询记录 · 回答于2023-12-29