Question

当取何值时,非齐次线性方程组-|||-+x1+x2+x3=1+-x1+2x2-4x3=2+2x1+5x2-x3=

Answer 1

问：当取何值时,非齐次线性方程组-|||-+x1+x2+x3=1+-x1+2x2-4x3=2+2x1+5x2-x3=

答：当代入矩阵右边的常数项为零时，即取 b1 = b2 = b3 = 0，原方程组变成：-|||-+ x₁ +x₂ +x₃ = 0x₁ +2x₂ -4x₃ = 02x₁ +5x₂ -x₃ = 0这个方程组就是一个齐次线性方程组。在这种情况下，我们可以通过求解对应的齐次方程组的解空间来找到非齐次方程组的特解。我们可以写出齐次方程组的增广矩阵，并将其进行行变换，得到行阶梯形式：[1 1 1 0][0 3 -5 0] [0 0 7 0]从中可以看出，第三行的等式 0x₁ + 0x₂ + 7x₃ = 0 表示自由变量 x₃。然后，我们可以对齐次方程组进行逆向代入，得到自由变量 x₃ 的表达式：x₃ = t，其中 t 是一个任意常数。接下来，我们可以逆向代入到方程组的其他方程中，得到 x₁ 和 x₂ 的表达式：

答：x₂ = （-5/3）t，x₁ = （8/3）t。最终，我们得到齐次方程组的解空间表示为：{x₁ = （8/3）t， x₂ = （-5/3）t，x₃ = t}这是齐次方程组的解空间，代表了无穷多个解。在非齐次方程组中，我们可以在齐次解空间的基础上找到一个特解。由于原方程组是三元一次方程组，所以解的个数应该是列表空间的维数（即 3）与非齐次解空间的一维自由变量的个数（即 1）的和，所以原方程组应该有 3 + 1 = 4 个解。