微分方程2(xy+x)y'=y的通解是
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您好，微分方程2(xy+x)y'=y的通解是y=u(x)x^2=Ax^6/(2-x)，其中A是任意常数。
首先，将方程稍作变形，得到：y'=(y-2xy)/2x，这是一个一阶非齐次线性微分方程，可以用常系数线性齐次微分方程的方法求解。
首先，求出关于x的齐次方程的通解：y=Cx^2，其中C是任意常数。
然后，根据常数变易法，假设非齐次方程的通解为：y=u(x)x^2，其中u(x)是待定函数。将这个形式的解代入方程，得到：(u'x^2+2ux)=(u(x)x^2-2x^3u(x))/(2x)，化简后得到：2u'x+4u=u(x)x-2x^2u(x)，移项后得到：(2x-x^2)u'(x)+(4-x)u(x)=0，这是一个一阶线性常系数微分方程，可以直接求解。
首先，求出其对应的齐次方程：(2x-x^2)u'(x)+(4-x)u(x)=0，(2x-x^2)u'(x)=(x-4)u(x)，u'(x)/u(x)=(x-4)/(2x-x^2)，对其进行变量分离，得到：ln|u(x)|=-ln|2-x|+4ln|x|+C，其中C是任意常数。化简后得到：u(x)=Ax^4/(2-x)，其中A是任意常数。
因此，非齐次方程的通解为：y=u(x)x^2=Ax^6/(2-x)，其中A是任意常数。
咨询记录 · 回答于2024-01-02
微分方程2(xy+x)y'=y的通解是
您好，微分方程2(xy+x)y'=y的通解是y=u(x)x^2=Ax^6/(2-x)其中A是任意常数。
首先，将方程稍作变形，得到：y'=(y-2xy)/2x 这是一个一阶非齐次线性微分方程，可以用常系数线性齐次微分方程的方法求解。
首先，求出关于x的齐次方程的通解：y=Cx^2 其中C是任意常数。
然后，根据常数变易法，假设非齐次方程的通解为：y=u(x)x^2 其中u(x)是待定函数。将这个形式的解代入方程，得到：
(u'x^2+2ux)=(u(x)x^2-2x^3u(x))/(2x)化简后得到：2u'x+4u=u(x)x-2x^2u(x) 移项后得到：(2x-x^2)u'(x)+(4-x)u(x)=0
这是一个一阶线性常系数微分方程，可以直接求解。
首先，求出其对应的齐次方程：(2x-x^2)u'(x)+(4-x)u(x)=0 (2x-x^2)u'(x)=(x-4)u(x) u'(x)/u(x)=(x-4)/(2x-x^2) 对其进行变量分离，得到：ln|u(x)|=-ln|2-x|+4ln|x|+C 其中C是任意常数。化简后得到：u(x)=Ax^4/(2-x) 其中A是任意常数。
因此，非齐次方程的通解为：y=u(x)x^2=Ax^6/(2-x) 其中A是任意常数。
亲，是在做题目吗？
是的
有不清楚的都可以向我咨询哦~
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