Question

求极限 f(x)=lim n趋于无穷 ln(e^n+x^n) 如图，答案第一步怎么来的?

Answer 1

分界点为x＝0区间为（负无穷，0）时极限趋近0，（0，正无穷）极限为正无穷

极限存在，故由洛必达法则可知为∞/∞型或C/∞型，故若为∞/∞型号则x>1，limln(e^3

再把x＝e的情况加进去，是连续的忘记取Ln了，注意一下

用洛必达法则＝lim（e＾n＋lnxx＾n）／（e＾n＋x＾n）＝1

解题方法：

观察函数，在n确定的时候，这个函数可能不连续的地方有ln部分小于0和分母为0，显然似乎题都不存在．目测这题目很像求n极限的情况。

这时，原式=ln(e^n(1+(x/e)^n))/n=1+ln(1+(x/e)^n)/n,x->e,n->∞时,可能产生间断点，x从正向趋近于e,但是x∞时(x/e)^n=0。

原式=1 x从逆向趋近于e，x>e,n->∞时(x/e)^n=∞，原式=∞， x=e时，原式=1+ln2/n，n->∞时，原式=1

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其他方法：

利用罗密他法则

当e＞x>0时

lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+x^nlnx﹚／﹙e^n+x^n﹚] ﹙罗比达，无穷大﹚

=lim(n->无穷)[﹙1+﹙x／e﹚^nlnx﹚／﹙1+﹙x／e﹚^n﹚] ﹙ 无穷小﹚

＝1／1＝1

当x＞e>0时

lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+x^nlnx﹚／﹙e^n+x^n﹚] ﹙罗比达，无穷大﹚

=lim(n->无穷)[﹙1+﹙x／e﹚^nlnx﹚／﹙1+﹙x／e﹚^n﹚] ﹙罗比达，无穷大﹚

＝lnx

当x＝e时

lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+e^nlne﹚／﹙e^n+e^n﹚] ﹙罗比达，无穷大﹚

=lim(n->无穷)[﹙2e^n﹚／﹙2e^n﹚]

＝1

Answer 2

望采纳，谢谢啦。

追问

最后一步 1的前面那步看不太明白

追答

就是把1/n次方分别放到两个乘积里

e^n的1/n次方等于e

Answer 3

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 4

引用Hdbfdb的回答：
分界点为x＝0区间为（负无穷，0）时极限趋近0，（0，正无穷）极限为正无穷
极限存在，故由洛必达法则可知为∞/∞型或C/∞型，故若为∞/∞型号则x>1，limln(e^3
再把x＝e的情况加进去，是连续的忘记取Ln了，注意一下
用洛必达法则＝lim（e＾n＋lnxx＾n）／（e＾n＋x＾n）＝1
解题方法：
观察函数，在n确定的时候，这个函数可能不连续的地方有ln部分小于0和分母为0，显然似乎题都不存在．目测这题目很像求n极限的情况。
这时，原式=ln(e^n(1+(x/e)^n))/n=1+ln(1+(x/e)^n)/n,x->e,n->∞时,可能产生间断点，x从正向趋近于e,但是x∞时(x/e)^n=0。
原式=1 x从逆向趋近于e，x>e,n->∞时(x/e)^n=∞，原式=∞， x=e时，原式=1+ln2/n，n->∞时，原式=1

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其他方法：
利用罗密他法则
当e＞x>0时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+x^nlnx﹚／﹙e^n+x^n﹚] ﹙罗比达，无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙1+﹙x／e﹚^nlnx﹚／﹙1+﹙x／e﹚^n﹚] ﹙ 无穷小﹚
＝1／1＝1
当x＞e>0时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+x^nlnx﹚／﹙e^n+x^n﹚] ﹙罗比达，无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙1+﹙x／e﹚^nlnx﹚／﹙1+﹙x／e﹚^n﹚] ﹙罗比达，无穷大﹚
＝lnx
当x＝e时
lim(n->无穷)[ln(e^n+x^n)/n]=lim(n->无穷)[﹙e^n+e^nlne﹚／﹙e^n+e^n﹚] ﹙罗比达，无穷大﹚
=lim(n->无穷)[﹙2e^n﹚／﹙2e^n﹚]
＝1

写错了，x=e时应该是lim2ln2e^n/n

Answer 5

有完整答案吗