Question

一道概率论和数理统计题目

一道概率论和数理统计题目我这样做为什么不对，用的切比雪夫不等式，为什么答案用中心极限定理差别这么大?

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Answer 1

切比雪夫不等式是一种估算，和实际可能相差很大，当所给条件较少的时候才使用的；中心极限定理比切比雪夫不等式更加精确，但使用条件也更为苛刻：不仅要求随机变量的期望、方差存在，而且要独立同分布。
这道题中用切比雪夫不等式算出来的n≥180，代入中心极限定理的计算结果n≥35也是成立的，但反过来不成立，也足以说明了“中心极限定理比切比雪夫不等式更精确”。
下面看一道题：随机变量X~B(10000,0.7)，用切比雪夫不等式估计并用中心极限定理近似计算P{6800≤X≤7200}。
解析：EX=7000，DX=2100，用切比雪夫不等式算出来的结果P{6800≤X≤7200}≥0.9475，但是用中心极限定理的话，算出来P{6800≤X≤7200}=0.99999，这完全满足P≥0.9475，但更加精确了。
所以上面这道题，题目条件很充分，完全可以使用中心极限定理得到更加精确的结果。

追问

考试刚好考了这一题，但是题目没有给我正态分布数据求不来n，我就只能用了切比雪夫了，不知道对不对唉……

Answer 2

切比雪夫不等式只是一种估算,并不是严格计算。求样本数量时,一般采用中心极限定理，中心极限定理算出的结果比切比雪夫不等式算出的结果更精确。