已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切线段PF的中点，则
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请画一个图。可设椭圆方程为(x /a )+(y /b )=1.(a＞b＞0).F(-C,0)为左焦点。P点在椭圆上，线段PF的中点为M,则PM=FM,圆x +y =b 与线段切于点M,则MO=b,又显然有FO=F2O.∴OM∥PF2，∴线段OM为⊿FPF2的中线，∴PF2=2OM=2b,显然由勾股定理可得PF=2FM=2√(c -b ).再由椭圆定义可知，PF+PF2=2a.∴2√(c -b )+2b=2a.===>c -b =(a-b) =a -2ab+b .结合a -c =b 可得：2ab=3b ===>2a=3b.===>4a =9b =9(a -c )===>9c =5a .===>e =c /a =5/9.===>e=(√5)/3.
咨询记录 · 回答于2022-01-20
已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切线段PF的中点，则
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请画一个图。可设椭圆方程为(x /a )+(y /b )=1.(a＞b＞0).F(-C,0)为左焦点。P点在椭圆上，线段PF的中点为M,则PM=FM,圆x +y =b 与线段切于点M,则MO=b,又显然有FO=F2O.∴OM∥PF2，∴线段OM为⊿FPF2的中线，∴PF2=2OM=2b,显然由勾股定理可得PF=2FM=2√(c -b ).再由椭圆定义可知，PF+PF2=2a.∴2√(c -b )+2b=2a.===>c -b =(a-b) =a -2ab+b .结合a -c =b 可得：2ab=3b ===>2a=3b.===>4a =9b =9(a -c )===>9c =5a .===>e =c /a =5/9.===>e=(√5)/3.
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