求微分方程y''+y=e^x+xcosx的特解

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摘要你好！这个微分方程要求寻找特解，可以使用常数变易法。首先，我们先求其对应的齐次方程的通解：$y''+y=0$。特征方程为$r^2+1=0$，解得$r=\pm i$，所以通解为$y=c_1\cos x+c_2\sin x$哦。接下来，设该微分方程的特解为$y_p=Ae^x+Bx\sin x+Cx\cos x+De^x\sin x+Ee^x\cos x$，其中$A,B,C,D,E$是待定系数。将特解及其两阶导带入原方程可得：$y_p''+y_p=e^x+xcosx$。整理系数后可得到如下方程组：$$\begin{cases} (A+2D)e^x+(C-E)x\sin x+(B+E)x\cos x=e^x+xcosx \\ (2A+2D)e^x+(B+E-2C)x\sin x+(2C-B-E)x\cos x=0 \end{cases}$$解该方程组，可得到$A=0,B=-\frac{1}{2},C=\frac{1}{2},D=-\frac{1}{2},E=0$。所以，原微分方程的特解为$y_p=-\frac{1}{2}x\sin x-\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)e^x$。将其与齐次方程的通解相加，即可得到原微分方程的通解。扩展补充：常数变易法是解决非齐次线性微分方程的一种方法，步骤为：先求出其对应的齐次方程的通解，再设其特解为一个未知的函数并代入原方程，解出其待定系数。其正确性来源于对微分方程的线性性、叠加性的观察。最后，需要注意的是，常数变易法只能求解非齐次线性微分方程，而且只能针对某个特定的非齐次项求出特解。如果非齐次项不同，或者存在多个非齐次项，则需要依据具体情况考虑采用其他方法进行求解。

咨询记录 · 回答于2023-03-23

求微分方程y''+y=e^x+xcosx的特解

好的，如果可以能把步骤写下来拍照给我吗？尽量详细一点

你好！这个微分方程要求寻找特解，可以使用常数变易法。首先，我们先求其对应的齐次方程的通解：$y''+y=0$。特征方程为$r^2+1=0$，解得$r=\pm i$，所以通解为$y=c_1\cos x+c_2\sin x$哦。接下来，设该微分方程的特解为$y_p=Ae^x+Bx\sin x+Cx\cos x+De^x\sin x+Ee^x\cos x$，其中$A,B,C,D,E$是待定系数。将特解及其两阶导带入原方程可得：$y_p''+y_p=e^x+xcosx$。整理系数后可得到如下方程组：$$\begin{cases} (A+2D)e^x+(C-E)x\sin x+(B+E)x\cos x=e^x+xcosx \\ (2A+2D)e^x+(B+E-2C)x\sin x+(2C-B-E)x\cos x=0 \end{cases}$$解该方程组，可得到$A=0,B=-\frac{1}{2},C=\frac{1}{2},D=-\frac{1}{2},E=0$。所以，原微分方程的特解为$y_p=-\frac{1}{2}x\sin x-\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)e^x$。将其与齐次方程的通解相加，即可得到原微分方程的通解。扩展补充：常数变易法是解决非齐次线性微分方程的一种方法，步骤为：先求出其对应的齐次方程的通解，再设其特解为一个未知的函数并代入原方程，解出其待定系数。其正确性来源于对微分方程的线性性、叠加性的观察。最后，需要注意的是，常数变易法只能求解非齐次线性微分方程，而且只能针对某个特定的非齐次项求出特解。如果非齐次项不同，或者存在多个非齐次项，则需要依据具体情况考虑采用其他方法进行求解。

可以手写一下步骤然后拍照嘛

亲亲可以直接拍照哦

亲我的意思是你手写一下步骤发我，这些符号我看不懂不知道怎么往卷子上抄

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