Question

相似矩阵的性质

Answer 1

相似变换是矩阵之间的一种等价关系，满足以下条件：

1、反身性

任意矩阵都与其自身相似。

2、对称性

如果A和B相似，那么B也和A相似。

3、传递性

如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。

矩阵间的相似关系与所在的域无关：设K是L的一个子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L上相似。这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。

如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个置换矩阵，那么就称A和B“置换相似”。如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个酉矩阵，那么就称A和B“酉相似”。谱定理证明了每个正规矩阵都相似于某个对角矩阵。


矩阵特征向量的几何含义

矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量。

比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维变量逆时针旋转30度。这时除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵（或者说这个变换自身）没有特征向量（注意：特征向量不能是零向量）。

综上所述，一个变换（或者说矩阵）的特征向量就是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已。