Question

11.设向量组a_1=(1,2,1,-2) , a_2=(2,3,1,0) , a_1=(1,2,2,-3) ,求 W=L(_1,_2

Answer 1

问：11.设向量组a_1=(1,2,1,-2) , a_2=(2,3,1,0) , a_1=(1,2,2,-3) ,求 W=L(_1,_2

答：a3(1，2，1) ，a4(2，3，1)线性无关。所以a3，a4的秩是2。向量组a1(a，3，1) ，a2(2，,b，3)， a3(1，2，1) ，a4(2，3，1)的秩为2。所以a1，a2都可以用a3，a4线性表示。所以a=2，b=5。向量组是由一组向量构成的。如向量组A：a1,a2,a3,…,am.其中a1,a2,a3,…,am均为向量。向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

问：第二道了？

答：由σ的定义得σ(ε1)=σ((1,0,0)^T)=(2,1,1)^T=2ε1+ε2+ε3σ(ε2)=σ((0,1,0)^T)=(1,2,1)^T=ε1+2ε2+ε3σ(ε3)=σ((0,0,1)^T)=(1,1,2)^T=ε1+ε2+2ε3σ(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)AA =2 1 11 2 11 1 2.由于A^T=A,所以σ在一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵所以σ是对称变换.(定理)|A-λE| = (4-λ)(1-λ)^2所以 A 的特征值为 4,1,1.(A-4E)X=0 的基础解系为 a1=(1,1,1)^T.属于特征值4的全部特征向量为 k1a1,k1≠0.(A-E)X=0 的基础解系为 a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,1,-2)^T.属于特征值1的全部特征向量为 k2a2+k3a3,k2,k3不全为0.

答：将a1,a2,a3单位化得R^3的标准正交基b1=(1/√3)(1,1,1)^Tb2=(1/√2)(1,-1,0)^Tb3=(1/√6)(1,1,-2)^T且 P=(b1,b2,b3)是正交矩阵,满足 P^-1AP = diag(4,1,1)由 (b1,b2,b3)=(ε1,ε2,ε3)P 得σ(b1,b2,b3)=σ(ε1,ε2,ε3)P= (ε1,ε2,ε3)AP= (b1,b2,b3)P^-1AP= (b1,b2,b3)diag(4,1,1).故 σ在R^3的标准正交基b1,b2,b3下的矩阵是对角矩阵diag(4,1,1).