求积分 ∫0到x [ln(1+t^3)]/t dt

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摘要 原极限=lim(x趋于0) (1-cosx)/[ln(1+x^3)/x]=lim(x趋于0) x(1-cosx)/ln(1+x^3),x趋于0时,1-cosx的等价无穷小是x^2/2,ln(1+x^3)的等价无穷小是x^3,代入前式得到=lim(x趋于0) x(x^2/2)/x^3=1/2
咨询记录 · 回答于2023-03-02
求积分 ∫0到x [ln(1+t^3)]/t dt
您好,这个是有x趋近于0的条件吗
完整的题目是这样的 您能看到图片吗?
看得见的
好的
这个是无穷小比无穷小的极限形式,这里我们可以先用洛必达法则
原极限=lim(x趋于0) (1-cosx)/[ln(1+x^3)/x]=lim(x趋于0) x(1-cosx)/ln(1+x^3),x趋于0时,1-cosx的等价无穷小是x^2/2,ln(1+x^3)的等价无穷小是x^3,代入前式得到=lim(x趋于0) x(x^2/2)/x^3=1/2
原极限分母是变限积分,可以去看看变限积分求导公式
懂了,谢谢!还有这道题
这个算是分母有理化的一个逆运算
就看成是[√(x+p)(x+q)-x]/1
分子分母同时乘以√(x+p)(x+q)+x
变成[(x+p)(x+q)-x^2]/[√(x+p)(x+q)+x]
=[(p+q)x+pq]/[√(x+p)(x+q)+x]=[(p+q)+pq/x]/[√(1+p/x+q/x+pq/x^2)+1]
x趋于无穷大的时候pq/x,p/x,q/x,pq/x^2都是趋于0的
原极限值等于p+q
原极限值等于(p+q)/2
前面那条消息打错了
太感谢啦!还有最后一题,辛苦了~
分子分母都趋近于0,用洛必达法则
原极限等于lim(x趋于∞)(a^1/xlna+b^(1/x)lnb)/(a^(1/x)+b^(1/x))=lna+lnb,原积分是不是等于ab啊
哦不对
lim(x趋于∞)(a^1/xlna+b^(1/x)lnb)/(a^(1/x)+b^(1/x))=(lna+lnb)/2
e^((lna+lnb)/2)=根号ab
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