Question

计算不定积分∫(2x-5)²¹dx

Answer 1

问：计算不定积分∫(2x-5)²¹dx

答：不定积分∫(2x-5)^(21)dx 的计算过程。首先，我们需要知道幂函数的积分公式：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1，C是常数。这个公式告诉我们，如果我们要计算一个幂函数的不定积分，只需要将指数加1，并除以新的指数，最后再加上一个常数C即可。但是对于你给出的函数(2x-5)^(21)，它并不是一个简单的幂函数，因为它的底数不是x而是一个关于x的复合函数2x-5。因此，我们不能直接使用幂函数的积分公式来计算它的不定积分。这时候，我们可以使用换元法来解决这个问题。换元法就是将原来复杂的积分转化为一个简单的积分。具体方法是令u = 2x - 5，则du = 2dx。这样一来，原积分就可以写成：∫(2x-5)^(21) dx = ∫(u^21)*(du/2)= (1/2)*∫u^21 du现在我们得到了一个简单的幂函数u^21 的不定积分。根据幂函数的积分公式，我们可以得到：(1/2)∫u^21 du = (1/2)[(u^22)/22 + C]= [(u^22)/44 + C]由于u = 2x - 5，则上式可以写成：[(u^22)/44 + C] = [(2x-5)^22]/44 + C其中C是常数。所以，不定积分∫(2x-5)^(21)dx 的答案是[(2x-5)^22]/44 + C。