Question

11.设向量组-|||-a1=(1,2,1,-2),+a2=(2,3,1,0)+,a3=(1,2,2,-3),-|||-求+W=L(a

Answer 1

问：11.设向量组-|||-a1=(1,2,1,-2),+a2=(2,3,1,0)+,a3=(1,2,2,-3),-|||-求+W=L(a

答：亲， 11. 设向量组： - || - a1 = (1,2,1,-2), + a2 = (2,3,1,0)+, a3 = (1,2,2,-3), - || - 求 W=L(a：对于向量组： - || - a1 = (1,2,1,-2), + a2 = (2,3,1,0)+, a3 = (1,2,2,-3), - || - 可以通过高斯-约旦消元法将其转化为阶梯形矩阵，并找出矩阵中主元所在行，从而得到向量组的秩。 将向量组写成增广矩阵形式： (1 2 1 -2 | 0) (2 3 1 0 | 0) (1 2 2 -3 | 0) 对第二行乘以2然后减去第一行，对第三行减去第一行，得到新的增广矩阵： (1 2 1 -2 | 0 ) (0 1 1 -4 | 0 ) (0 0 1 -1 | 0 ) 再对第二行乘以-1，得到新的增广矩阵： (1 2 1 -2 | 0 ) (0 -1 -1 4 | 0 ) (0 0 1 -1 | 0 ) 此时矩阵中有三个主元，分别在第1、2、3行的第1、2、3列，因此向量组的秩为3，即向量组中的任意三个向量线性无关。 由于向量组中共有4个向量，因此还需要求出其一个极大线性无关向量组，方法是将原向量组的所有向量逐个与该向量组的前向量组求线性组合，若与前向量组的线性组合系数均为0，则该向量为新向量组的向量之一。 - || - a1 = (1,2,1,-2)，显然它能构成一个极大线性无关向量组； 对+ a2 = (2,3,1,0)+，可以表示为在- a1 的基础上的线性组合 a1/(-5)+ a2/5，因此+ a2并不是新向量组的向量之一； 对 a3 = (1,2,2,-3)，可以表示为在- a1 和+ a2 的基础上的线性组合 a1/5- a2/25+ a3/5，因此a3是新向量组的向量之一。 因此，一个极大线性无关向量组为： - || - a1 = (1,2,1,-2)、+ a2 = (2,3,1,0)、a3 = (1,2,2,-3)。

答：解法二： 由于向量组中共有4个向量，因此向量组线性相关当且仅当它们的秩小于4。我们对向量组进行初等变换，使得向量组的列向量组成的矩阵A为一个n×n矩阵，然后利用行列式的性质求解行列式的值即可，即A的秩等于A的行列式不为0时，向量组线性无关，否则线性相关。 将向量组写成矩阵的形式： ( 1 2 1 -2 ) ( 2 3 1 0 ) ( 1 2 2 -3 ) (-1 0 0 1 ) 对向量组的列向量进行初等变换，得到新的列向量组成的矩阵B： ( 1 0 0 1 ) ( 0 1 0 -2 ) ( 0 0 1 -1 ) ( 0 0 0 0 ) 此时B的行列式不为0，因此向量组的秩为4，即向量组中的任意四个向量线性无关。但由于向量组中共有4个向量，因此还是需要求出其一个极大线性无关向量组，方法与解法一相同。 因此，一个极大线性无关向量组为： -|||-a1=(1,2,1,-2)、+a2=(2,3,1,0)、a3=(1,2,2,-3)。