Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,BD⊥BC,点E为BC延长线上的一动点，且满足CE＋BD=4,以AD、AE为邻边作正方形ADFE,边DF交BC于点G,则CG的最小值为

Answer 1

问：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,BD⊥BC,点E为BC延长线上的一动点，且满足CE＋BD=4,以AD、AE为邻边作正方形ADFE,边DF交BC于点G,则CG的最小值为

答：首先，由勾股定理可知，$AB=AC\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。令$BD=x$，则$CE=4-x$。由题意可得：$$\begin{cases}AG=\frac{2S_{\triangleADF}}{DF}=\frac{(4+x)^2}{8\sqrt{2}+8-x}\\GC=BC-BG=4-\frac{(4+x)^2}{8\sqrt{2}+8-x}\end{cases}$$现在的问题是要确定$x$的取值范围，使得$E$点在线段$BC$上。因为$CE=4-x\geq0$，所以$x\leq4$。由于$BD\perpBC$，$CD\perpBC$，所以$BC$为矩形$BCED$的对角线，即$BC^2=BD^2+CE^2=x^2+(4-x)^2=2(x^2-4x+8)$，所以$x^2-4x+8\geq0$，即$(x-2)^2+4\geq0$，即$x\in\mathbb{R}$。因此$x$可以取任意实数。我们将$GC$表示为$x$的函数：$$GC(x)=4-\frac{(4+x)^2}{8\sqrt{2}+8-x}$$求导得到$GC'(x)=-\frac{16(\sqrt{2}-1)}{[8\sqrt{2}+8-x]^2}$，因此$x=8\sqrt{2}+8$时，$GC$取到最小值：$$GC_{\min}=GC(8\sqrt{2}+8)=\frac{16\sqrt{2}}{3}$$因此，$CG$的最小值为$\frac{16\sqrt{2}}{3}$。

答：2

答：首先，我们注意到CE+BD=4意味着BD和CE的长度是定值，因此E点的位置随着BC的长度而改变。于是，我们可以固定BC的长度为4，这时，有BD=CE=2，通过勾股定理可以得到AB=AC√2=4√2。同时，DG=CD-CG=4-CE-BG，因此，我们需要求出BG和DG的长度，从而得到CG的长度。根据正方形的性质，有AD=DF=AE，因此，$\angleADF=\angleADE$。又因为$\angleADE=\angleACB$，所以$\angleADF=\angleACB$。因此，$\triangleADF\sim\triangleACB$。由此可得$\dfrac{CG}{BG}=\dfrac{DF}{AB}$，即$CG=\dfrac{BG}{AB}\cdotDF=\dfrac{BG}{4\sqrt{2}}\cdotAE$。接下来，我们要求出AE和BG的关系。由于$\triangleABC$为等腰直角三角形，因此，$BD=\dfrac{BC}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。又因为$CE+BD=4$，所以$CE=2-2\sqrt{2}$。由此可得$BE=BC+CE=4-2\sqrt{2}$。又因为$\triangleABE$为等腰直角三角形，所以$AE=BE\sqrt{2}=2(2-\sqrt{2})$。因此，$CG=\dfrac{BG}{4\sqrt{2}}\cdot2(2-\sqrt{2})=\dfrac{(2-\sqrt{2})BG}{2\sqrt{2}}$。此时，我们需要求得$\dfrac{(2-\sqrt{2})BG}{2\sqrt{2}}$的最小值。注意到$(2-\sqrt{2})BG>0$，所以我们只需要求得$\dfrac{BG}{2\sqrt{2}}$的最小值即可。又因为$\triangleBGD$为直角三角形，所以$GD=\sqrt{BD^2-BG^2}=2\sqrt{2}-BG$。因此，$DG=4-CE-BG=2\sqrt{2}-BG$。将其代入$\dfrac{CG}{BG}=\dfrac{DG+CG}{BG}=2-\dfrac{BG}{2\sqrt{2}}$中，得到$CG=BG\cdot\left(2-\dfrac{BG}{2\sqrt{2}}\right)$。因此，$CG$的最小值等于函数$y=x(2-\dfrac{x}{2\sqrt{2}})$的最小值，其中$x=BG$。这个函数是一个完全平方式的二次函数，其最小值为1，当$x=\sqrt{2}$时取得。因此，$CG_{min}=CG|_{BG=\sqrt{2}}=\sqrt{2}(2-\dfrac{\sqrt{2}}{2})=2\sqrt{2}-1$。因此，$\triangleABC$中，$CG$的最小值为$2\sqrt{2}-1$。

问：我这边是这样的

答：怎么回事

答：乱码是吗？两个都这样吗？

问：对的

答：我再发一次给您看看

答：先观察一下图形，发现定点比较多，而且不好运用一些常规定理，考虑使用坐标系。以点$B$为原点建立平面直角坐标系，令$BC$与$x$轴重合，$CE=y$，$BD=x$，那么有以下坐标：$B(0,0),C(4,0),A(0,4),D(-4,4),E(4+y,0),F(-4,8+y),G(\frac{32+3x-4y}{8},y)$因为$G\inBC$，所以$G$的纵坐标为$0$，代入得$y=\frac{64-3x}{8}$又因为$CE+BD=4$，代入得$x+y=\frac{64}{11}$目标是求$CG$的最小值，根据三角不等式，有$CG=BC-BG=4-\frac{32+3x-4y}{8}=\frac{24-3x+4y}{8}$代入$x$，$y$的关系，得$CG=\frac{16}{11}x+\frac{5}{11}y=\frac{32}{11}(x+y)-\frac{16}{11}x$代入$x+y=\frac{64}{11}$，得$CG=\frac{16}{11}(64/11)-\frac{16}{11}x=\frac{928}{121}-\frac{16}{11}x$所以$CG$与$x$呈负比例关系，也就是说$x$越大，$CG$越小。因此，要使$CG$最小，只需要令$x$取最大值，满足$CE+BD=4$即可。观察题图可得，当$CE=0,BD=4$时，$x$取到最大值$x=4$，代回式子得到$CG=\frac{576}{121}$，即为所求的最小值。