Question

如果a1,a2,a3线性无关,则它的极大无关组为其中任意两个向量

Answer 1

问：如果a1,a2,a3线性无关,则它的极大无关组为其中任意两个向量

答：假设a1, a2, a3是线性无关的向量组，那么它们之间不存在非平凡线性组合，即对于任意标量k1、k2、k3，只有当k1=k2=k3=0时，才有k1a1 + k2a2 + k3*a3 = 0。现在我们需要找到这个向量组的极大无关组。极大无关组的定义是：一个向量组中删除任何一个向量后，剩下的向量仍然线性无关。首先，选取其中任意两个向量作为候选的极大无关组，例如a1和a2。接下来，我们需要证明这两个向量构成了极大无关组。假设我们从这个向量组中删除其中一个向量（例如a3），接下来我们需要证明剩下的向量依然线性无关。因为a1和a2已经是线性无关的，所以只需要证明a3不能由a1和a2的线性组合表示出来即可。那么，我们假设存在标量k1和k2，使得k1a1 + k2a2 = a3。根据上述假设，k1和k2不能同时为零，否则a3就能够表示为a1和a2的线性组合，这与我们的假设矛盾。因此，我们可以假设k1不等于零，那么可以解出k2 = (a3 - k1*a1)/a2。由于a1、a2和a3是线性无关的，所以k2一定存在且唯一。但是这意味着a3可以表示为a1、a2的线性组合，这与我们的假设矛盾。因此，我们得出结论：a1和a2是这个向量组的极大无关组。值得注意的是，选取的极大无关组不一定是唯一的，例如a1和a3、a2和a3等等都可以作为极大无关组。

问：这个怎么算？

问：要精确步骤？

答：这是一个4元线性方程组,方程矩阵形式为:[1 1 2 2][2 3 4 5][3 5 6 8][2 2 4 4]求解此方程组的基础解系,需要求出方程矩阵的秩和行阶梯式。首先,对矩阵行进行初等变换,得:[1 1 2 2][0 2 4 6][0 0 0 -2][0 0 0 0]可见,此方程组的行阶梯式为:[1 1 2 2][0 2 4 6][0 0 0 -2][0 0 0 0]由行阶梯式可知,方程组的秩为2。于是,此方程组有两组基础解:X1 = t1, X2 = t2, X3 = t1 + 2t2, X4 = 2t1 + 3t2其中t1和t2为任意常数。所以,此方程组的基础解系为:{X1 = t1, X2 = t2, X3 = t1 + 2t2, X4 = 2t1 + 3t2 | t1, t2 ∈ R}