Question

已知u(x,y)=y³-3x²y+x,求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),且满足f(1)=1+i

Answer 1

问：已知u(x,y)=y³-3x²y+x,求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),且满足f(1)=1+i

答：要求解析函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y) = y³ - 3x²y + x，并且满足f(1) = 1 + i。首先，我们可以通过等式f(1) = 1 + i来确定函数f(z)的实部和虚部。根据给定条件，令z = x + iy，其中x和y是实数。由于f(1) = 1 + i，我们可以将z替换为1，得到f(1) = u(1, 0) + iv(1, 0) = 1 + i。根据等式u(x, y) = y³ - 3x²y + x，我们可以确定实部u(x, y)。将x替换为1，得到u(1, y) = y³ - 3y + 1。

答：由于f(z)是解析函数，我们知道它满足柯西-黎曼方程。根据柯西-黎曼方程，实部u(x, y)和虚部v(x, y)的偏导数满足以下关系：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x我们可以通过求解这些偏导数的方程来确定虚部v(x, y)。根据∂u/∂x = ∂v/∂y，我们有：-6xy = ∂v/∂y对上式积分，得到v(x, y) = -6xyy + g(x)，其中g(x)是关于x的任意可微函数。根据∂u/∂y = -∂v/∂x，我们有：3y² - 3x² + 1 = -∂v/∂x对上式积分，得到u(x, y) = y³ - x³ + x + h(y)，其中h(y)是关于y的任意可微函数。

答：综上所述，解析函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)为：f(z) = (y³ - x³ + x + h(y)) + i(-6xyy + g(x))其中h(y)和g(x)是任意可微函数。根据给定条件f(1) = 1 + i，我们可以选择适当的h(y)和g(x)以满足此条件。请注意，由于h(y)和g(x)是任意可微函数，存在多个可能的解析函数f(z)满足给定条件。因此，上述解析函数f(z)并非唯一解。