已知u(x,y)=y³-3x²y+x,求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),且满足f(1)=1+i

1个回答
展开全部
摘要 要求解析函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y),其中u(x, y) = y³ - 3x²y + x,并且满足f(1) = 1 + i。首先,我们可以通过等式f(1) = 1 + i来确定函数f(z)的实部和虚部。根据给定条件,令z = x + iy,其中x和y是实数。由于f(1) = 1 + i,我们可以将z替换为1,得到f(1) = u(1, 0) + iv(1, 0) = 1 + i。根据等式u(x, y) = y³ - 3x²y + x,我们可以确定实部u(x, y)。将x替换为1,得到u(1, y) = y³ - 3y + 1。
咨询记录 · 回答于2023-05-06
已知u(x,y)=y³-3x²y+x,求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),且满足f(1)=1+i
要求解析函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y),其中u(x, y) = y³ - 3x²y + x,并且满足f(1) = 1 + i。首先,我们可以通过等式f(1) = 1 + i来确定函数f(z)的实部和虚部。根据给定条件,令z = x + iy,其中x和y是实数。由于f(1) = 1 + i,我们可以将z替换为1,得到f(1) = u(1, 0) + iv(1, 0) = 1 + i。根据等式u(x, y) = y³ - 3x²y + x,我们可以确定实部u(x, y)。将x替换为1,得到u(1, y) = y³ - 3y + 1。
由于f(z)是解析函数,我们知道它满足柯西-黎曼方程。根据柯西-黎曼方程,实部u(x, y)和虚部v(x, y)的偏导数满足以下关系:∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x我们可以通过求解这些偏导数的方程来确定虚部v(x, y)。根据∂u/∂x = ∂v/∂y,我们有:-6xy = ∂v/∂y对上式积分,得到v(x, y) = -6xyy + g(x),其中g(x)是关于x的任意可微函数。根据∂u/∂y = -∂v/∂x,我们有:3y² - 3x² + 1 = -∂v/∂x对上式积分,得到u(x, y) = y³ - x³ + x + h(y),其中h(y)是关于y的任意可微函数。
综上所述,解析函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)为:f(z) = (y³ - x³ + x + h(y)) + i(-6xyy + g(x))其中h(y)和g(x)是任意可微函数。根据给定条件f(1) = 1 + i,我们可以选择适当的h(y)和g(x)以满足此条件。请注意,由于h(y)和g(x)是任意可微函数,存在多个可能的解析函数f(z)满足给定条件。因此,上述解析函数f(z)并非唯一解。
下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消