Question

求x的n次方除以n的阶乘的和函数的收敛域和收敛半径

Answer 1

问：求x的n次方除以n的阶乘的和函数的收敛域和收敛半径

答：亲亲您好啊，x的n次方除以n的阶乘的和函数的收敛域和收敛半径信息如下；n=偶数,x的n次方除以n的阶乘,求和,是e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+...; e^(-x)=1-x/1!+x^2/2!-x^3/3!+...;e^x+e^(-x)=2(1+x^2/2!+x^4/4!+...); 所以1+x^2/2!+x^4/4!+..+x^(2n)/(2n)+...=[e^x+e^(-x)]/2,式中n=0,1,2

答：收敛区间和收敛域的区别是前者一定是开放性区间但后者不一定，后者两端点是开放还是闭合要根据具体情况具体判断，大体来说会有四种情况：左边开右边开、左边开右边闭，左边闭右边开，左边闭右边闭。举个例子，一个幂级数的收敛半径为6，那么它的收敛区间就是（-6，6）,然后进一步判断在-6和6这两个端点处的开闭，可能存在四种情况，即(-6,6)、（-6,6]、[-6，6）、[-6，6]。

问：麻烦给出结果

答：收敛域：R=a(n-1)/an=n/(n-1)=1;当x=-1时,是交错级数,极限->0x=1是时,是调和级数,不收敛所以[-1,1）是收敛域

问：证明～1的n+1次方除以√n条件收敛

答：lim{n->oo} |a(n+1)/a(n)| = lim{n->oo} |x/(n+1)| < 1|x| n+1, as n->oo.收敛域：（-oo, oo)收敛半径：R = oo

答：证明：前两个式子在整数上去极限，最后那个是在实数上取极限，前两个可以夹逼一下，就得到第三个显然有(1+1/(n+1))^n<=(1+1/x)^x<=(1+1/n)^(n+1)，其中n是x下取整。(1+1/(n+1))^n和(1+1/n)^(n+1)取极限都是e，于是根据夹逼定理，(1+1/x)^x也是e

问：第一题能给出详细过程吗

答：亲亲第一题已经是最详细的解释咯