Question

证明三维空间中四个向量必线性相关

Answer 1

问：证明三维空间中四个向量必线性相关

答：亲亲，非常荣幸为您解答在三维空间中，任意四个向量必线性相关的证明如下：假设有四个向量a，b，c,d，我们需要证明它们必线性相关。由于这四个向量都在三维空间中，因此它们可以表示为三维坐标系中的向量，即：a=(al, a2, a3)b=(b1,b2,b3)c=(c1, c2, c3)d=(d1, d2, d3)现在我们假设这四个向量线性无关，即它们不能表示为任意一个非零标量的线性组合。因此，我们可以列出如下的方程组：xla+x2b+x3c+x4d=0

问：题目错了，是证明三维空间中四个向量必线性组合

答：亲亲其中，x1,x2,x3,x4是未知数，且至少有一个不为零。将向量a,b，c，d的坐标代入上述方程组，可以得到如下的线性方程组：alxl+blx2+clx3+dlx4=0a2x1+b2x2+c2x3+d2x4=0a3x1+b3x2+c3x3+d3x4=0现在我们需要证明这个线性方程组有非零解，即证明它的系数行列式为零。计算系数行列式，得到：|al b1 cl d1||a2 b2 c2 d2|=0|a3 b3 c3 d3|

答：在三维空间中，任意四个向量必线性相关，因此它们必定可以表示为一个向量的线性组合。假设有四个向量a，b，c，d，我们需要证明它们必线性组合。由于这四个向量都在三维空间中，因此它们可以表示为三维坐标系中的向量，即：a=(a1, a2, a3)b=(b1,b2,b3)c=(c1, c2,c3)d=(d1, d2, d3)现在我们需要证明这四个向量可以表示为一个向量的线性组合。我们可以将这四个向量表示为矩阵的形式：A=[abc d]其中，A是一个3x4的矩阵，a,b,c,d是列向量。

答：由于A的列数大于它的行数，因此A的列向量必定线性相关。即存在一组不全为零的系数x1,x2,x3，x4，使得：xla+x2b+x3c +x4d=0这个方程可以表示为：Ax=0其中，x=[x1x2x3x4]T是一个列向量。由于A的列向量线性相关，因此它们的秩小于4，即rank(A)<4。根据矩阵秩的定义，rank(A)等于A的列向量组成的向量空间的维数。因此，rank(A)<4意味着A的列向量组成的向量空间的维数小于4。

答：由于A的列向量组成的向量空间的维数小于4，因此存在一个非零向量v，它不在A的列向量组成的向量空间中。即：Av#0现在我们可以将v表示为a，b，c，d的线性组合：v=xla+x2b+x3c+x4d因此，我们证明了在三维空间中，任意四个向量必线性组合。