Question

设AB是欧氏空间V的两个正交变换,证明AB也是V的正交变换

Answer 1

问：设AB是欧氏空间V的两个正交变换,证明AB也是V的正交变换

答：亲亲您好！很高兴为您解答：欧氏空间V的正交变换是指线性变换T满足T(x,y)=T(x),T(y)在内积下相等，即对于任意向量x,y有(T(x),T(y))=(x,y)。由题可知，A和B都是V的正交变换，因此对于任意向量x,y，有：(A(x),A(y))=(x,y) （1）(B(x),B(y))=(x,y) （2）由于A和B都是线性变换，因此AB也是线性变换，即AB(x)=A(B(x))，因此对于任意向量x,y，有：(AB(x),AB(y))=(A(B(x)),A(B(y)))=(A(B(x)),B(y)) (AB(x)在B下的像是B(A(x))，因此等于(A(x),B(y)))=(B(A(x)),B(y))=(A(x),y) (B是正交变换，因此在其下内积不变)=(x,B(y)) (A是正交变换，因此在其下内积不变)=(x,y) (B是正交变换，因此在其下内积不变)因此，AB也是V的正交变换，证毕。