Question

全国卷高考数学压轴题

Answer 1

问：全国卷高考数学压轴题

答：已知函数f(x)=x(1 - Inx)(1)讨论f(x)的单调性(2)设a,b为两个不相等的正数，且bln a-a lnb= a-b.证明:2

答：您好，经过查询为您查询到全国卷高考数学压轴题，为以上

答：先看第一问：判断单调性。在这种压轴题判断单调性，一般是先求导，再根据导数的正负确定单调性，即导数大于零为增函数，导数小于零为减函数。所以先对f(x)求导：f'(x)=1-lnx+x(-1/x)=-lnx。明显地，当0＜x＜1时，lnx＜0，则-lnx＞0，此时f(x)为增函数；当x＞1时，-lnx＜0，此时f(x)为减函数。再看第二问：证明不等式。首先对题干中的等量关系进行变换，即blna-alnb=a-b变换成[1-ln(1/a)]/a=[1-ln(1/b)]/b。变换过后容易发现，1/a、1/b都是函数f(x)中函数值相等的点的横坐标。所以接下来就需要代入f(x)进行求解。先令m=1/a，n=1/b，则f(m)=f(n)，所证结论就变为2＜m+n＜e，即2-m＜n＜e-m。由于a≠b，所以m≠n。然后设m＜n，则有0＜m＜1且n＞1。先证结论的前半部分，即2-m＜n。要证这个结论，可以利用f(x)的单调性，但是需要在同一个单调区间内使用。所以需要构造一个新函数g(x)=f(x)-f(2-x)，0＜x＜1。求导后知道g(x)在(0,1)内为增函数，且0＜m＜1，所以g(m)＜g(1)=0，从而得到f(m)＜f(2-m)。又因为f(n)=f(m)，所以f(n)＜f(2-m)。又0＜m＜1，所以2-m＞1，且n＞1，f(x)在x＞1上为减函数，所以n＞2-m，即m+n＞2。再证结论的后半部分。可以采用上面一样的方法证明，只是构造的函数变成了h(x)=f(x)-f(e-x)。详细过程见下图：后半部分的证明除了上面构造函数的方法，下面再介绍一个不容易想到但计算更简单的方法。由于当x从右边趋近于0时，f(x)的极限为0，所以1＜n＜e。又f(x)在点(e,0)处的切线方程为：φ(x)=-x+e，接下来构造新函数ψ(x)=f(x)-φ(x)=2x-xlnx-e(0＜x＜e)。然后通过求导判断单调性得到ψ(x)＜0，即f(x)＜φ(x)，则有f(m)＜φ(m)，即f(n)＜φ(m)。又1＜n＜e，所以f(n)=n(1-lnn)＞n，即n＜φ(m)=-m+e，所以m+n＜e。

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