Question

将（x+y+z）5展开合并同类项后共有______项，其中x3yz项的系数是______

Answer 1

问：将（x+y+z）5展开合并同类项后共有______项，其中x3yz项的系数是______

答：将(x+y+z)^5展开合并同类项后，每一项都是m^xa^yb^zc的形式，且a+b+c=5，其中，m是实数，a、b、c∈N。 构造8个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，共有分法C_2^7种， 每一组中都去掉一个小球的数目分别作为(x+y+z)^5的展开式中每一项中x，y，z各字母的次数， 小球分组模型与各项的次数是一一对应的。 故将(x+y+z)^5展开合并同类项后共有C_2^7=21项。 把(x+y+z)^5的展开式看成5个因式(x+y+z)的乘积形式。 从中任意选3个因式，这3个因式都取x，另外的2个因式分别取y、z，相乘即得含x^3yz项，故含x^3yz项的系数为C_3^5=20。 故答案为：21；20。