Question

y=x/(1-x∧2)求n阶导数,为什么不能用莱布尼茨公式

Answer 1

问：y=x/(1-x∧2)求n阶导数,为什么不能用莱布尼茨公式

答：没有牛顿，只有莱布尼茨。这个题要用莱布尼茨公式 (uv)^(n) = Σ(0≤k≤n)C(n，k) [u^(k)] [v^(n-k)] 来解。 记 u = x^2，v = ln(1+x)，则 u‘ = 2x，u" = 2，u"' = 0，…… v' = 1/(1+x)，v" = (-1)/(1+x)^2，v"' = (-1)(-2)/(1+x)^3，…， v^(k) = (-1)(-2)…(-k+1)/(1+x)^k = [(-1)^(k-1)]*(k-1)!/(1+x)^k 这样， [(x^2)ln(1+x)]^(n) = (uv)^(n) = Σ(0≤k≤n)C(n，k)[u^(k)][v^(n-k)] = ……。

答：= x / (1 - x^2) = 1 / 2 [ 1 / (1 - x) - 1 / (1 + x) ]` $y = \frac{1}{1 - x}$ $y' = \frac{1}{(1 - x)^2}$ $y'' = \frac{2}{(1 - x)^3}$ $y^{(n)} = \frac{n!}{(1 - x)^(n + 1)}$ $y = \frac{1}{1 + x}$ $y' = -\frac{1}{(1 + x)^2}$ $y'' = \frac{2}{(1 + x)^3}$ $y^{(n)} = (-1)^n \times \frac{n!}{(1 + x)^(n + 1)}$ 所以，$y = x / (1 - x^2)$ 的 n 阶导数为： $y^n = \frac{1}{2} [ \frac{n!}{(1 - x)^(n + 1)} - (-1)^n \times \frac{n!}{(1 + x)^(n + 1)} ]$ = $n! / 2 [ \frac{1}{(1 - x)^(n + 1)} - (-1)^n / (1 + x)^(n + 1) ]$

问：你的第一个不是我问的题

答：高数课本后面不是介绍了无穷积分，还有一个是瑕点积分吗？就是在积分区间内，不是每个点都是有意义的，那么就不能直接使用牛顿莱布尼茨了

答：是这个解释呢