Question

4.求微分方程 y''+y'=x^2+e^(-x) 的一个特解

Answer 1

问：4.求微分方程 y''+y'=x^2+e^(-x) 的一个特解

答：感谢亲的耐心等待，具体解答如下：1.求出对应齐次方程的通解：y''+y'=0。其特征方程为：r^2 + r = 0，解得 r1=0，r2=-1。因此，通解为：y = c1 + c2 * e^(-x)。2。求出非齐次方程的一个特解。我们猜测特解为：y = Ax^2 + Be^(-x)。将其代入原方程得：y''+y'=2A+Be^(-x)-Be^(-x)=2A因此，我们可以得到 A=1/2。再将 A=1/2 代入特解中，得：y = 1/2 x^2 + Be^(-x)。将其代入原方程得：y''+y' = x^2 + e^(-x)2B e^(-x) = e^(-x) (B = 1/2)因此，特解为：y = 1/2 x^2 + 1/2 e^(-x)。综上所述，原方程的一个特解为：y = 1/2 x^2 + 1/2 e^(-x)。