Question

证明: (x+y)^4≤8(x^4+y^4) .

Answer 1

问：证明: (x+y)^4≤8(x^4+y^4) .

答：我们可以使用数学归纳法来证明不等式(x+y)4≤8(x4+y^4)。首先，当x = y时，(x+y)^4 = 2^4 * x^4 = 8x4，而8(x4+y^4) = 16x^4。因此，在这种情况下不等式成立。接下来，假设x ≠ y。不妨设x > y，则有：(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x2y2 + 4xy^3 + y^4 < x^4 + 4x^3y + 6x^3y + 6xy^3 + y^4 （因为6x²y² 6x³y） = x⁴+10xy(x²+y²)+y⁴ ≤ x⁴+10xy(2xy)+y⁴ （因为根据均值不等式，有：(1/2)(x²+y²) ≥ √(xy)，所以：(1/2)(x²+y²) ≥ xy） = x⁴+20xy²+x⁴ ≤ x⁴+20yx³+x⁴ （因为假设了： x > y） ≤ 8(x⁴+y⁴)综上所述，在任何情况下都有： (x+y)4≤8(x4+y^4)。