Question

已知函数 f(x)=ax-lnx/x.-|||-(1)当 a=1 时,求f(x)的极值;-|||-(2)若 x>0, f(

Answer 1

问：已知函数 f(x)=ax-lnx/x.-|||-(1)当 a=1 时,求f(x)的极值;-|||-(2)若 x>0, f(

答：已知函数 f(x)=ax-lnx/x.(1)当 a=1 时,求f(x)的极值（2）若∀x＞0，f（x）＞0，求a的取值范围

答：题目是这样吗？ 图片我有点看不清楚

问：对

答：第一问的话您可以先对f（x）求导

答：然后令f（x）=0

答：1) 当 a=1$时，函数 f(x)=x-\ln x/x。为了求 f(x) 的极值，需要先求出 f'(x)：f'(x) = 1 - 1/x -lnx/x²f (x)=1− x1− x 2lnx​ 令 f'(x)=0，解得 x=e。因此，当 x=e$时，f(x)$取得极小值。为了判断极值的性质，需要计算 f''(x)：f''(x) = （2lnx-3）/x三次方当 x=e$时，f''(e)<0，因此 x=e是 f(x) 的极小值点。此时 f(e)=e-\ln e/e=1-1/e。

答：(1) 当a=1时，函数变为 f(x) = x - ln(x)/x。为了找到f(x)的极值，需要求导数并令其为零：f'(x) = 1 - (1+ln(x))/x^2 = 0解得 x = e，代入原函数得：f(e) = e - ln(e)/e = 1/e因此，当a=1时，f(x)的极小值为1/e，极小值点为 x=e。

答：(2) 若对于所有的x>0，f(x)>0，则有：ax - ln(x) > 0ax > ln(x)这个不等式对于所有x>0都成立，所以可以对x取极限：lim x->0+ (ax/ln(x)) = lim x->0+ (a/1/x) = +∞因此，要满足f(x)>0，必须有a>0。另外，当x趋近于正无穷时，ln(x)增长的速度远远慢于x的增长速度，所以ax-ln(x)的值会趋向于正无穷。因此，要满足f(x)>0，必须有：lim x->+∞ (ax-ln(x)) > 0根据极限的性质，可得：lim x->+∞ (ax-ln(x)) = +∞因此，要满足f(x)>0，必须有a>0。综上所述，a的取值范围为a>0。