Question

设是由 y=x ,x=1, z=xy 及 z=x^2y 所围的有界闭区域,计算三重积分7xy^2z^3dv

Answer 1

问：设是由 y=x ,x=1, z=xy 及 z=x^2y 所围的有界闭区域,计算三重积分7xy^2z^3dv

答：亲 您好，根据您所描述的问题：设是由 y=x ,x=1, z=xy 及 z=x^2y 所围的有界闭区域,计算三重积分7xy^2z^3dv

答：这个有界闭区域可以表示为：D={(x,y,z) | 1≤x≤z, x≤y≤√z}现在我们来计算积分。首先，根据题目，三重积分的被积函数是：f(x,y,z) = 7xy^2z^3那么，我们可以写出三重积分的表达式：∭D 7xy^2z^3 dv= ∫1^√z ∫x^2^z ∫x^2^y 7xy^2z^3 dz dy dx= ∫1^√z ∫x^2^z 7xy^2 (y^2-x^2) dy dx （将 z^3 提到第一个积分符号里，并将 z 替换为 √z）= ∫1^√z (7/5)x^5 (z-x^2)^2 dx= (7/15)√z [ (z^3-1)-(z^5/3-1) ] （将 x^5 替换为 u，并应用积分公式 ∫u^2(v-u)^2 du = (1/15)v^5-(2/5)uv^4+(1/3)u^2v^3-(2/3)u^3v^2+(1/5)u^4v，其中 v=z-x^2）= (7/15)√z [ 2- (z^5/3 - z^3 - 1) ]= (14/45)√z (3z^2-5)因此，积分的值为：∭D 7xy^2z^3 dv = (14/45) ∫1^4 √z (3z^2-5) dz= (14/45) [ (4√4-1√1)(3(4)^2-5) - (1√1-1)(3(1)^2-5) ]= (14/45) [ 84√2-2 ]= 28√2/45因此，原问题的答案是 28√2/45。