计算二重积分+∫∫_0^1(x^2+y^2+2xy)dxdy+,其中平面区域+D:x^2+y^2≤4x,x^2+y
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计算二重积分∫∫_0^1(x^2+y^2+2xy)dxdy，其中平面区域D限定为:x^2+y^2≤4x
具体步骤如下：
1. 将直角坐标系转换为极坐标系(r,θ)，x=rcosθ, y=rsinθ。
原有范围变为：r^2≤4rcosθ。
根据极坐标换算法，积分变为：
∫∫_0^1(x^2+y^2+2xy)dxdy= ∫_0^π ∫_0^2(rcos^2θ + r^2sin^2θ + 2rcosθsinθ)rdrdθ。
积分范围变为：θ ∈ [0,π] r ∈ [0, 2]。
2. 将三项公式拆开积分，得：
I1 = ∫_0^π ∫_0^2 rcos^2θ rdrdθ= (1/2)∫_0^π cos^2θ dθ ∫_0^2 r^2dr = (π/2)(1/2) = π/4。
I2 = ∫_0^π ∫_0^2 r^2sin^2θ rdrdθ= (1/2)∫_0^π sin^2θ dθ ∫_0^2 r^3dr = (π/2)(2/3*2^3/2) = 2π。
I3 = 2∫_0^π ∫_0^2 rcosθsinθ rdrdθ= 2∫_0^π cosθsinθ dθ ∫_0^2 r^2dr = 2(π/4)(1/2) = π。
3. 总积分为：
∫∫_0^1(x^2+y^2+2xy)dxdy = I1 + I2 + I3 = π/4 + 2π + π = 5π/4。
所以，二重积分∫∫_0^1(x^2+y^2+2xy)dxdy = 5π/4。
如果还有不明白的地方，可以再做适当的解释。积分计算涉及到的公式、变换等也可以查阅参考资料。
咨询记录 · 回答于2024-01-09
计算二重积分+∫∫_0^1(x^2+y^2+2xy)dxdy+,其中平面区域+D:x^2+y^2≤4x,x^2+y
第四题
亲，非常抱歉！我这里收不了图片，请您用文字告知我，方便我为您解答
计算二重积分∫∫_0^1(x^2+y^2+2xy)dxdy，其中平面区域D限定为：x^2+y^2≤4x。具体步骤如下：
1. 将直角坐标系转换为极坐标系(r,θ)，x=rcosθ, y=rsinθ。原有范围变为：r^2≤4rcosθ。
2. 根据极坐标换算法，积分变为：∫∫_0^1(x^2+y^2+2xy)dxdy= ∫_0^π ∫_0^2(rcos^2θ + r^2sin^2θ + 2rcosθsinθ)rdrdθ。
3. 积分范围变为：θ ∈ [0,π] r ∈ [0, 2]。
4. 将三项公式拆开积分，得：
I1 = ∫_0^π ∫_0^2 rcos^2θ rdrdθ= (1/2)∫_0^π cos^2θ dθ ∫_0^2 r^2dr = (π/2)(1/2) = π/4。
I2 = ∫_0^π ∫_0^2 r^2sin^2θ rdrdθ= (1/2)∫_0^π sin^2θ dθ ∫_0^2 r^3dr = (π/2)(2/3*2^3/2) = 2π。
I3 = 2∫_0^π ∫_0^2 rcosθsinθ rdrdθ= 2∫_0^π cosθsinθ dθ ∫_0^2 r^2dr = 2(π/4)(1/2) = π。
5. 总积分为：∫∫_0^1(x^2+y^2+2xy)dxdy = I1 + I2 + I3 = π/4 + 2π + π = 5π/4。
6. 所以，二重积分∫∫_0^1(x^2+y^2+2xy)dxdy = 5π/4。
7. 如果还有不明白的地方，可以再做适当的解释。积分计算涉及到的公式、变换等也可以查阅参考资料。
可以发照片吗有些看不懂
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