Question

|a-1|+|a-2|+|a-3|+.....+|a-2008|的值为常数,求a的取值范围

Answer 1

问：|a-1|+|a-2|+|a-3|+.....+|a-2008|的值为常数,求a的取值范围

答：观察该式子，可以发现当 $a$ 取 $1,2,3,...,2008$ 中的任意一个数时，该式的值均不变。因此，$a$ 的取值范围为 $1\leq a\leq 2008$。为了更清晰地说明这一点，我们考虑当 $a\geq 2008$ 时，有：\begin{aligned} |a-1|+|a-2|+|a-3|+\cdots+|a-2008|&=a-1+a-2+a-3+\cdots+a-2008\\ &=2008a-\frac{(1+2008)\times2008}{2} \end{aligned}∣a−1∣+∣a−2∣+∣a−3∣+⋯+∣a−2008∣​=a−1+a−2+a−3+⋯+a−2008=2008a−​​显然这是一个关于 $a$ 的一次函数，当 $a$ 取到 $2008$ 时，函数取到最小值 $0$。同理，当 $a\leq 1$ 时，也可以得到 $a$ 的取值范围为 $1\leq a\leq 2008$。因此，$a$ 的取值范围为 $1\leq a\leq 2008$。