Question

对角线之和一定等于特征值吗

Answer 1

对角线之和一定等于特征值这个论断是不正确的，这个论断只有在方阵对称的特殊情况下才成立。让我们先来了解一下什么是对角线之和和特征值。
对于一个 n 阶矩阵 A，它的对角线之和就是所有在 A 中第 i 行第 i 列的元素之和，可表示为 tr(A)。其次，在线性代数中，特征值是一个矩阵所拥有的一组值，这些值可以由矩阵的行列式和特征多项式求出。在方阵 A 中，一个标量 λ 是它的特征值，当且仅当存在一个非零向量 v，使得 A 和 v 的乘积等于 λ 值乘以向量 v
如果 A 的对角线上所有元素之和等于 λ1+λ2+...+λn，这个 n 阶方阵的特征值为 λ1, λ2, ..., λn.例如，在一个 2x2 的矩阵 A 中，它的两个特征值 λ1 和 λ2 是这样产生的：(1)计算行列式 |A-λI| 其中 A 是矩阵，I 是单位矩阵;(2)解方程 |A-λI|v=0，其中 v 是一个非零向量和零向量。
然而，当矩阵 A 不对称时，对角线之和仍然等于λ1+λ2+...+λn，但这个和不再等于特征值和。例如，当 A 是一个非对称矩阵时，它的对角线和并不等于它的特征值和。因此，只有在方阵对称的情况下，对角线和等于特征值和这个论断才成立。
总结一下，对角线之和和特征值都是矩阵 A 的一个特征。但是，对于不对称的矩阵A，对角线之和并不总是等于它的特征值和。对于不对称矩阵 A，特征值与对角线和不同，因此只有在方阵对称的情况下才有对角线之和等于特征值。