Question

1/t*√(1+t)求积分

Answer 1

问：1/t*√(1+t)求积分

答：要求解这个积分，我们可以进行变量代换。令 u = 1+t 则 du = dt 且 t = u-1 那么积分可以改写为：∫(1/(u-1) * √(u)) du。然后利用分部积分法进行计算。令 v = √(u) 则 dv = (1/2) * (1/√(u)) du。根据分部积分公式：∫u dv = uv - ∫v du，我们可以得到：∫(1/(u-1) * √(u)) du = √(u) * (1/(u-1)) - ∫((1/2) * (1/√(u)) * (1/(u-1))) du。化简后得到：= √(u) * (1/(u-1)) - (1/2) * ∫(1/u) du= √(u) * (1/(u-1)) - (1/2) * ln(u) + C。将u = 1+t代回原式：∫(1/t*√(1+t)) dt = √(1+t) * (1/(1+t-1)) - (1/2) * ln(1+t) + C= √(1+t) - (1/2) * ln(1+t) + C。所以，原式的积分结果为：√(1+t) - (1/2) * ln(1+t) + C。