Question

18 设随机变量X在区间(1.3)上服从均匀分布,试求(1)X的概率密度函数:(2)Y =2X＋3的概率密度函数

Answer 1

问：18 设随机变量X在区间(1.3)上服从均匀分布,试求(1)X的概率密度函数:(2)Y =2X＋3的概率密度函数

答：对于区间(1,3)上的均匀分布随机变量X，概率密度函数为:

答：(1) X的概率密度函数f(x) = 1/(b-a)，其中a和b是区间的上下界，即a=1，b=3。因此，概率密度函数为:f(x) = 1/(3-1) = 1/2，对于1 < x < 3；= 0，其他情况。

答：(2) 现在考虑随机变量Y = 2X + 3，我们需要找到Y的**概率密度函数**。我们可以通过**变量转换法**来解决这个问题。 首先，我们可以计算Y的**累积分布函数**(CDF)并求导，以获得概率密度函数(PDF)。对于任意实数y，我们有： F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(2X + 3 ≤ y) = P(X ≤ (y-3)/2) 由于X是在区间(1,3)上均匀分布的，所以我们可以计算X的CDF： F_X(x) = P(X ≤ x) = (x-1)/(3-1) = (x-1)/2，对于1 < x < 3；= 0，其他情况。 现在我们可以计算Y的CDF： F_Y(y) = P(X ≤ (y-3)/2) = F_X((y-3)/2) = [(y-3)/2-1]/2 = (y-5)/4，对于3 < y < 7；= 0，其他情况。

答：最后，我们对Y的CDF求导以得到概率密度函数：f_Y(y) = d/dy [(y-5)/4] = 1/4，对于3 < y < 7；= 0，其他情况。因此，Y = 2X + 3的概率密度函数为：f_Y(y) = 1/4，对于3 < y < 7；= 0，其他情况。

问：y在区间（3，7）均匀分布可以这样写吗

答：可以的哦亲

问：第2小问就是直接写y也在区间（3，7）均匀分布，然后直接求出概率密度函数能得分吗

答：对，可以的，合理范围内，可以进行简化

问：如果吧上面x的区间变（1，2）上面的第2问怎么做

答：(1) 对于区间（0，2）上的均匀分布，概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）可以表示为： f(x) = 1 / (b - a) = 1 / (2 - 0) = 1 / 2 其中，a 和 b 分别是区间的下限和上限。 (2) 现在我们要计算变量 Y = 2X + 3 的概率密度函数。我们可以使用变量变换的方法来解决。首先，我们将 Y 表示为 X 的函数：Y = 2X + 3。然后对这个函数求反函数，得到 X = (Y - 3) / 2。接下来，我们计算反函数的导数，即 X 对 Y 的导数：dX/dY = 1 / 2。然后，我们将 PDF 表示为 X 的概率密度函数 f(x) 和 X 对 Y 的导数之积，即：g(y) = f((y - 3) / 2) * (1 / 2)。代入 f(x) 的值，得到：g(y) = (1 / 2) * (1 / 2) = 1 / 4。因此，Y = 2X + 3 的概率密度函数为：g(y) = 1 / 4。请注意，这个结果是在 Y 的取值范围内（根据变量变换得到），即 Y 的取值范围为（3，7）。