Question

拉氏变换求解微分方程

Answer 1

拉普拉斯变换是求解微分方程的一种方法。

其求解步骤如下：

1、对已知的微分方程取拉氏变换，如y"+2y'-3y=e^（-t），y（0）=0，y'（0）=1，则。
s²Y（s）-1+2sY（s）-3Y（s）=1/（s+1）。
2、解含有未知变量Y（s）的方程，即。
Y（s）=（s+2）/【（s+1）（s-1）（s+3）】。
3、将上式转换成部分分式的形式，即。
Y（s）=-1/【4（s+1）】+3/【8（s-1）】-1/【8（s+3）】。
4、取逆拉氏变换，可以得到微分方程的解。
y（t）=【3e^t-2e^（-t）-e^（-3t）】/8。

拉氏反变换常用公式如下：

设函数f（t）（t≥0）在任一有限区间上分段连续，且存在一正实数σ，使得：则函数f（t）的拉氏变换存在，并定义为：式中，s=σ+jω（σ、ω均为实数）为复变数。F（s）称为函数f（t）的拉氏变换或象函数，是一个复变函数，f（t）称为F（s）的原函数。
拉氏变换即拉普拉斯变换。为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。