Question

--+判别下列正项级数的收敛性-|||--5/n

Answer 1

问：--+判别下列正项级数的收敛性-|||--5/n

答：对于正项级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{n}$，我们可以使用比较判别法进行判断。首先我们需要找到一个已知的收敛级数或发散级数作为比较对象。由于$\frac{5}{n}$的阶数与$\frac{1}{n}$相同，因此我们考虑将该级数与调和级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$进行比较。根据比较判别法，若存在正常数$C$使得$\frac{5}{n} \leq C\cdot\frac{1}{n}$对于所有$n>N$成立，则$\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{n}$与$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$具有相同的收敛性。即当$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$收敛时，$\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{n}$也收敛；当$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$发散时，$\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{n}$也发散。显然，当$n>5$时，$\frac{5}{n} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n}$，因此我们可以取$C=\frac{1}{2}$，则对于所有$n>5$，都有$\frac{5}{n} \leq \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}$，根据比较判别法，我们可以得出结论：$\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{n}$收敛。