求1/2(x^2+y^2)与z=1/2R^2所围立体的体积
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亲亲，非常荣幸为您解答
首先，将1/2(x^2+y^2)与z=1/2R^2列成参数方程：x = rcosθ, y = rsinθ, z = 1/2R^2，其中，0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π。因此，该立体的体积可以通过三重积分计算得出：V = ∫∫∫dV
其中，dV表示一个微小的体积元素，可表示为dV = rdzdr*dθ。
首先，将1/2(x^2+y^2)与z=1/2R^2列成参数方程：x = rcosθ, y = rsinθ, z = 1/2R^2，其中，0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π。因此，该立体的体积可以通过三重积分计算得出：V = ∫∫∫dV其中，dV表示一个微小的体积元素，可表示为dV = rdzdr*dθ。
咨询记录 · 回答于2023-05-10
求1/2(x^2+y^2)与z=1/2R^2所围立体的体积
亲亲，非常荣幸为您解答首先，将1/2(x^2+y^2)与z=1/2R^2列成参数方程：x = rcosθ, y = rsinθ, z = 1/2R^2，其中，0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π。因此，该立体的体积可以通过三重积分计算得出：V = ∫∫∫dV其中，dV表示一个微小的体积元素，可表示为dV = rdzdr*dθ。
首先，将1/2(x^2+y^2)与z=1/2R^2列成参数方程：x = rcosθ, y = rsinθ, z = 1/2R^2，其中，0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π。因此，该立体的体积可以通过三重积分计算得出：V = ∫∫∫dV其中，dV表示一个微小的体积元素，可表示为dV = rdzdr*dθ。
相关拓展：代入参数方程，得：V = ∫(θ=0 to 2π) ∫(r=0 to R) ∫(z=0 to 1/2R^2) rdzdr*dθ，对z和r进行积分，得：V = ∫(θ=0 to 2π) ∫(r=0 to R) (1/2R^2)rdr*dθ，再对r进行一次积分，得：V = ∫(θ=0 to 2π) (1/8)R^3dθ。对θ进行积分，得：V = (1/4)πR^3
因此，1/2(x^2+y^2)与z=1/2R^2所围立体的体积为(1/4)πR^3。
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