Question

2.设函数y= y(x)是由方程ln(9x+9y+1)+(x +1)y= 0所确定的隐函数，则y‘(0)=

Answer 1

问：2.设函数y= y(x)是由方程ln(9x+9y+1)+(x +1)y= 0所确定的隐函数，则y‘(0)=

答：您好，由给定的方程可以写出：ln(9x+9y+1)+(x+1)y=0对其求导可得：(9+9y')/(9x+9y+1)+(x+1)y'+y=0当x=0时，代入以上式子可得：(9+9y')/(9y+1)+y'=0化简得到：9+18y'+9y'^2+y'=0解这个方程，可得y'=-2/3或-1哦。但由于求的是y'(0)，所以需要代入原方程，得到：ln(9y+1)-(y+1)y=0当y'=-2/3时，代入上式可得：ln3-4/3=ln(3/8)当y'=-1时，代入上式可得：ln2-2=ln(1/2)所以，y'(0)的一般值为-2/3或-1。

答：补充：原方程可以化为：ln(9x+9y+1)=-y(x+1)因为ln的定义域为正实数，所以9x+9y+1>0，即y>-x-1/9。所以，在y(x+1)>0的情况下，y<0，也就是说y为负数。这样一来，我们可以进一步得出y(x+1)0和y(x+1)<0的哪一种情况在x=0时成立。这个可以通过代入求解得到，具体过程见上。所以，通过以上方法求解，可以得到y'(0)的一般值为-2/3或-1。