Question

证明反常积分(e^sinx)sin2x/x收敛

Answer 1

问：证明反常积分(e^sinx)sin2x/x收敛

问：1到正无穷

答：证明反常积分(e^sinx)sin2x/x收敛1到正无穷

答：亲是这个问题？

答：要证明反常积分$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{\sin x}\sin 2x}{x}dx$收敛，可以使用比较审敛法。注意到当$x\geq 0$时，$\frac{\sin 2x}{x}$是一个有界函数，即$|\frac{\sin 2x}{x}|\leq 2$。因此，我们可以将被积函数拆分成两个部分： $\int_{0}^{\infty}\frac{e^{\sin x}\sin 2x}{x}dx=\int_{0}^{\infty}e^{\sin x}\sin{2x}dx$ $= \int_{0}^{\infty}e^{\sin x}\sin{2x}dx$ 接下来，我们只需证明$\int_0^\infty \frac{e^{\sin x}}{x}dx$收敛即可。为了证明这一点，我们可以使用瑕积分的定义。具体地，对于任意正数$M$，我们需要证明积分$\int_M^\infty\frac{e^{\sin x}}{x}dx$收敛。由于指数函数增长速度非常快，因此我们可以尝试使用洛必达法则。具体地，我们可以计算出： $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{\sin x}}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\cos x}{1}=0$ 因此，对于任意正数$M$，当$x\geq M$时，有$\frac{e^{\sin x}}{x}\leq \frac{1}{x^2}$。由于$p$-积分$\int_M^\infty\frac{1}{x^2}dx$收敛，因此根据比较审敛法，原积分$\int_0^\infty \frac{e^{\sin x}}{x}dx$也收敛。综上所述，原反常积分$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{\sin x}\sin 2x}{x}dx$收敛。

问：乱码，能发图片吗，这个是乱码

答：亲老师这里看不清图片麻烦亲用文字形式打出来老师这里帮您解决。

问：设f在R上有3阶导数，f(0)=f'(0)=f''(0)=0，并且｜f'''(x)｜≤｜f(x)｜+｜f'(x)｜+｜f''(x)｜,∀x∈R，求证f≡0

问：设f(x,y)=[e^(y+3)]((x-4)^2+y^2-2y-7),求其极大值与极小值

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦。我们可以首先求出该函数的梯度向量，即： ∇f(x, y) = 2(x - 4)e^(y + 3) e^(y + 3)(2y - 2) > 然后令其等于零，解得临界点为 (4, 1)。接下来我们需要分析 Hessian 矩阵： H(f) = ([ 2e^(y + 3) 2e^(y + 3)(x - 4) ][ 2e^(y + 3)(x - 4) 2e^(y + 3)(2y - 2) ]) 将临界点带入 H(f)，有：H(f)(4, 1) = ([ 2e^4 0 ][ 0 0 ]) 所以 H(f)(4, 1) 只有一个非零特征值 λ=2e^4，是正定矩阵，因此函数 f(x, y) 在点 (4, 1) 处取得局部极小值。另外我们发现当 x 趋近正无穷时，f(x, y) 也趋近正无穷；当 y 趋近负无穷时，f(x, y) 也趋近正无穷。因此函数 f(x, y) 没有全局最大值；而当 y 趋近正无穷时，f(x, y) 趋近 0，因此函数 f(x, y) 的全局最小值为 0。综上，函数 f(x, y) 的极小值为 0，没有极大值。