Question

f复合g1=f复合g2+得到g1=g2+证明f是满射

Answer 1

问：f复合g1=f复合g2+得到g1=g2+证明f是满射

答：为了证明$f$是满射，需要证明对于任意一个函数$y\in Y$，都存在$x\in X$，使得$f(x)=y$。首先，对于$g_1$和$g_2$，根据题意有$f\circ g_1=f\circ g_2$，即对于任意的$x\in X$，有$f(g_1(x))=f(g_2(x))$。因此，可以令$h(x)=g_1(x)-g_2(x)$，则有$f(h(x))=f(g_1(x)-g_2(x))=f(g_1(x))-f(g_2(x))=0$，即$h(x)$的函数值为$0$。因为$h(x)$的函数值为$0$，所以对于任意$y\in Y$，存在$x\in X$，使得$f(h(x))=y$，即$f(x-g_2(x))=y$，从而可以得到$f$是满射。