Question

4.AB两数都只含有质因数3和2,它们的最大公因数是18-|||-已知A有12个因数,B有8

Answer 1

问：4.AB两数都只含有质因数3和2,它们的最大公因数是18-|||-已知A有12个因数,B有8

答：您好，根据问题中的已知条件可以列出以下等式： A = 2^x * 3^y B = 2^m * 3^n 其中，x、y、m、n均为正整数。 由于AB的最大公因数为18，则有： 18 = 2^p * 3^q 其中，p和q均为非负整数。 又因为18是2和3的最小公倍数，所以p和q的值分别为1和2。 即：18 = 2*3^2 将上述式子带入A和B中，可得： A = 2^x * 3^y = 2 * 3^2 * 2^k * 3^l （其中k和l均为非负整数） B = 2^m * 3^n = 2^1 * 3^2 * 2^s * 3^t （其中s和t均为非负整数） 根据题目所给的条件，A有12个因数，而A = 2 * 3^2 * 2^k * 3^l，则其因数总数为(1+k+1)(2+l+1) = (k+2)(l+3)，即(k+2)*(l+3)=12。 由于k和l均为非负整数，因此(k+2)和(l+3)只能取下列四组值之一：（1,12）、（2,6）、（3,4）、（4,3）。 当(k+2,l+3)=(1,12)时，A的因数总数为13，不符合题目描述。 当(k+2,l+3)=(2,6)时，A的因数总数为9，不符合题目描述。 当(k+2,l+3)=(3,4)时，A的因数总数为10，也不符合题目描述。 因此，只有当(k+2,l+3)=(4,3)时，A的因数总数才等于12。 同理，B = 2 * 3^2 * 2^s * 3^t，则其因数总数为(1+s+1)(2+t+1) = (s+2)(t+3)，即(s+2)*(t+3)=8。 由于s和t均为非负整数，因此(s+2)和(t+3)只能取下列两组值之一：（1,8）、（2,4）。 当(s+2,t+3)=(1,8)时，B的因数总数为9，不符合题目描述。 当(s+2,t+3)=(2,4)时，B的因数总数为8，符合题目描述。 综上所述，满足要求的AB分别为：A = 2^4 * 3^3 = 432 B = 2^2 * 3^2 = 36 因此，满足问题中所有已知条件的AB的最大公因数是18，其中A有12个因数，B有8个因数。