Question

利用二重积分计算求由曲面z=x的平方➕y 的平方和z=2-x的平方-y 的平方所围成立体的体积.

Answer 1

问：利用二重积分计算求由曲面z=x的平方➕y 的平方和z=2-x的平方-y 的平方所围成立体的体积.

答：您好，亲。 这边根据您提供的问题，为您查询到以下信息：要计算由曲面z=x^2+y^2和z=2-x^2-y^2所围成的立体的体积，可以使用二重积分来求解。 首先，我们需要确定积分的范围。由于曲面z=x^2+y^2和z=2-x^2-y^2相交于一个圆形区域，我们可以使用极坐标来描述该区域。在极坐标下，圆形区域的边界可以表示为0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ 2π。 接下来，我们需要确定积分的积分函数。由于我们要计算的是体积，积分函数应为1。因此，我们可以将体积表示为以下二重积分： V = ∫∫R 1 dA 其中，R表示极坐标下的圆形区域。 现在，我们可以计算该二重积分： V = ∫∫[θ]π [r]01 1 r dr dθ 首先，对r进行积分： V = ∫∫[θ]π [r]01 dθ V = ∫∫[θ]π dθ 由于θ的范围是从0到2π，所以积分结果为： V = [θ]02π V = 2π 因此，由曲面z=x^2+y^2和z=2-x^2-y^2所围成的立体的体积为2π。

答：亲，您好。图片是看不到呢，你可以阐述问题，我这里给你解答哦~

问：设D:x的平方➕y的平方小于等于1则||D xdxdy =()

答：根据给定的条件 D: $x^2 + y^2 \leq 1$，我们需要计算积分 $\int\int_{D} dxdy$。 由于 D 是单位圆盘，我们可以使用极坐标来进行积分。 在极坐标下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，其中 $r$ 是极径，$\theta$ 是极角。 首先，我们需要确定积分的范围。 由于 D 是单位圆盘，极径 $r$ 的范围是从 $0$ 到 $1$，极角 $\theta$ 的范围是从 $0$ 到 $2\pi$（一周）。 因此，积分表达式为：$\int\int_{D} dxdy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r dr d\theta$ 首先对 $r$ 进行积分：$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[\frac{1}{2} r^2 \right]_{0}^{1} d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{1}{2} [\theta]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi$ 因此，$\int\int_{D} dxdy = \pi$。