Question

怎么证明1/n发散

Answer 1

要证明1/n发散，可以使用比较审敛法。
比较审敛法是一种比较判别法的方法，可以用于判断级数的收敛性。假设有两个级数Un和Vn，其中Un的通项为u1，u2，u3，...，Vn的通项为v1，v2，v3，...，如果存在一个正整数N，当n>N时，有|un|<=|vn|，并且Vn是收敛的级数，那么Un也是收敛的级数。现在回到证明1/n发散的问题上，我们可以将1/n与1/n+1进行比较，即：1/n(n+1)，显然，这个不等式是成立的。因此，当n>1时，有|1/n|<=|1/(n+1)|。现在我们需要找到一个收敛的级数Vn，使得|1/n|n^2，因为当n>1时，有|1/n^2|<=|1/n|。因此，如果级数1/n^2是收敛的，那么根据比较审敛法，级数1/n也是收敛的。
比较审敛法的用途：
比较审敛法可以用来判断级数的收敛性。通过选择一个合适的级数作为比较对象，如果它们的通项可以按照某种规律进行比较，且其中一个级数是收敛的，那么另一个级数也是收敛的。
比较审敛法可以用来估计级数的和。如果一个级数和一个已知收敛的级数有相同的通项，并且它们的通项之间有某种关系，那么我们可以通过已知级数的和来估计这个级数的和。