如图,△ABC中,∠ABC=60°,AB=9.BC=8,点D为BC边中,点E为AB边上一动点,连接DE,将DE绕D点顺时针旋转45°得到DF，连接CF，求CF最小值，用两种方法解答
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亲，您好哈。
很高兴为您解答这个问题：用两种方法解答方法一：几何法在三角形ABC中，由于∠ABC = 60°，所以∠ACB = 180° - 60° - 90° = 30°。由三角形ABC中的正弦定理可以得到：AB/sin(∠ACB) = BC/sin(∠ABC)，代入已知条件可得：9/sin30° = 8/sin60°，化简得sin30° = 2sin60°。根据sin30° = 1/2和sin60° = √3/2，可得1/2 = 2√3/2，即1 = 4√3，所以√3 = 1/4。进一步，根据三角形ABC中的余弦定理可以得到：BC² = AB² + AC² - 2AB・AC・cos(∠ACB)，代入已知条件可得：8² = 9² + AC² - 2・9・AC・1/4，化简得AC² - 9AC - 23 = 0。解一元二次方程AC² - 9AC - 23 = 0，得到AC ≈ 10.89 或 AC ≈ -1.89。由于长度不能为负数，所以AC ≈ 10.89。根据三角形DEF与三角形ABC相似，我们可以得到DF = DE，所以需要求的是DE + EF = DE + FD。根据旋转45°的特点，∠DFA = 45°，由三角形ADC中的正弦定理可以得到：AC/sin(∠ADC) = CD/sin(∠CDA)，代入已知条件可得：10.89/sin(135°) ≈ CD/sin(105°)。化简计算后可得：CD ≈ 15.33。因此，DE ≈ CD - CE ≈ 15.33 - 9 = 6.33。最后，CF = DE + FD = 6.33 + 6.33 = 12.66。
很高兴为您解答这个问题：用两种方法解答方法一：几何法在三角形ABC中，由于∠ABC = 60°，所以∠ACB = 180° - 60° - 90° = 30°。由三角形ABC中的正弦定理可以得到：AB/sin(∠ACB) = BC/sin(∠ABC)，代入已知条件可得：9/sin30° = 8/sin60°，化简得sin30° = 2sin60°。根据sin30° = 1/2和sin60° = √3/2，可得1/2 = 2√3/2，即1 = 4√3，所以√3 = 1/4。进一步，根据三角形ABC中的余弦定理可以得到：BC² = AB² + AC² - 2AB・AC・cos(∠ACB)，代入已知条件可得：8² = 9² + AC² - 2・9・AC・1/4，化简得AC² - 9AC - 23 = 0。解一元二次方程AC² - 9AC - 23 = 0，得到AC ≈ 10.89 或 AC ≈ -1.89。由于长度不能为负数，所以AC ≈ 10.89。根据三角形DEF与三角形ABC相似，我们可以得到DF = DE，所以需要求的是DE + EF = DE + FD。根据旋转45°的特点，∠DFA = 45°，由三角形ADC中的正弦定理可以得到：AC/sin(∠ADC) = CD/sin(∠CDA)，代入已知条件可得：10.89/sin(135°) ≈ CD/sin(105°)。化简计算后可得：CD ≈ 15.33。因此，DE ≈ CD - CE ≈ 15.33 - 9 = 6.33。最后，CF = DE + FD = 6.33 + 6.33 = 12.66。
咨询记录 · 回答于2023-06-28
如图,△ABC中,∠ABC=60°,AB=9.BC=8,点D为BC边中,点E为AB边上一动点,连接DE,将DE绕D点顺时针旋转45°得到DF，连接CF，求CF最小值，用两种方法解答
亲，您好哈。很高兴为您解答这个问题：用两种方法解答方法一：几何法在三角形ABC中，由于∠ABC = 60°，所以∠ACB = 180° - 60° - 90° = 30°。由三角形ABC中的正弦定理可以得到：AB/sin(∠ACB) = BC/sin(∠ABC)，代入已知条件可得：9/sin30° = 8/sin60°，化简得sin30° = 2sin60°。根据sin30° = 1/2和sin60° = √3/2，可得1/2 = 2√3/2，即1 = 4√3，所以√3 = 1/4。进一步，根据三角形ABC中的余弦定理可以得到：BC² = AB² + AC² - 2AB・AC・cos(∠ACB)，代入已知条件可得：8² = 9² + AC² - 2・9・AC・1/4，化简得AC² - 9AC - 23 = 0。解一元二次方程AC² - 9AC - 23 = 0，得到AC ≈ 10.89 或 AC ≈ -1.89。由于长度不能为负数，所以AC ≈ 10.89。根据三角形DEF与三角形ABC相似，我们可以得到DF = DE，所以需要求的是DE + EF = DE + FD。根据旋转45°的特点，∠DFA = 45°，由三角形ADC中的正弦定理可以得到：AC/sin(∠ADC) = CD/sin(∠CDA)，代入已知条件可得：10.89/sin(135°) ≈ CD/sin(105°)。化简计算后可得：CD ≈ 15.33。因此，DE ≈ CD - CE ≈ 15.33 - 9 = 6.33。最后，CF = DE + FD = 6.33 + 6.33 = 12.66。
很高兴为您解答这个问题：用两种方法解答方法一：几何法在三角形ABC中，由于∠ABC = 60°，所以∠ACB = 180° - 60° - 90° = 30°。由三角形ABC中的正弦定理可以得到：AB/sin(∠ACB) = BC/sin(∠ABC)，代入已知条件可得：9/sin30° = 8/sin60°，化简得sin30° = 2sin60°。根据sin30° = 1/2和sin60° = √3/2，可得1/2 = 2√3/2，即1 = 4√3，所以√3 = 1/4。进一步，根据三角形ABC中的余弦定理可以得到：BC² = AB² + AC² - 2AB・AC・cos(∠ACB)，代入已知条件可得：8² = 9² + AC² - 2・9・AC・1/4，化简得AC² - 9AC - 23 = 0。解一元二次方程AC² - 9AC - 23 = 0，得到AC ≈ 10.89 或 AC ≈ -1.89。由于长度不能为负数，所以AC ≈ 10.89。根据三角形DEF与三角形ABC相似，我们可以得到DF = DE，所以需要求的是DE + EF = DE + FD。根据旋转45°的特点，∠DFA = 45°，由三角形ADC中的正弦定理可以得到：AC/sin(∠ADC) = CD/sin(∠CDA)，代入已知条件可得：10.89/sin(135°) ≈ CD/sin(105°)。化简计算后可得：CD ≈ 15.33。因此，DE ≈ CD - CE ≈ 15.33 - 9 = 6.33。最后，CF = DE + FD = 6.33 + 6.33 = 12.66。
方法二：向量法设向量AB = a，向量BC = b。因为|AB| = 9，所以|a| = 9。由于∠ABC = 60°，所以向量BC = √3/2 * |a| * i + 1/2 * |a| * j。所以b = (√3/2 * 9)i + (1/2 * 9)j = (4.5√3)i + 4.5j。根据向量旋转公式可知，绕D点逆时针旋转45°得到DF的向量为d = (4.5√3cos45° + 4.5sin45°)i + (-4.5sin45° + 4.5√3cos45°)j = (9/2)√2i + (9/2)√2j = (9/√2)(1/2√2i + 1/2√2j) = (9/√2)(1/√2)(i + j).根据向量减法可得向量EF为e = d - b = [(9/√2)(1/√2) - (4.5√3)]i + [(9/√2)(1/√2) - 4.5]j = [(1/2 - 4.5√3)/√2]i + [(1/2 - 4.5)/√2]j.根据向量长度公式可得|EF|^2 = [((1/2 - 4.5√3)/√2)^2 + ((1/2 - 4.5)/√2)^2] = [(1/4 - 2.5√3 + 9/2 + 1/4 - 2.25 + 9/2)]/2 = [(2 - 2.5√3) + (9 - 2.25)]/2 = [-0.5√3 + 6.75]/2 ≈ 3.875 - 0.5√3。因此，CF的平方最小值即为|EF|^2 ≈ 3.875 - 0.5√3。进一步计算，得到CF最小值 ≈ √(3.875 - 0.5√3)。
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