Question

4.求曲面 lnz+2z+x^2y^2=6 在点(2,1,1)处的切平面及法线方程

Answer 1

问：4.求曲面 lnz+2z+x^2y^2=6 在点(2,1,1)处的切平面及法线方程

答：首先，我们可以对曲面 lnz+2z+x^2y^2=6 求偏导数，得到该点处的法向量：∂(lnz+2z+x^2y^2)/∂x = 2xy^2∂(lnz+2z+x^2y^2)/∂y = 2yx^2∂(lnz+2z+x^2y^2)/∂z = 1/z + 2将点(2,1,1)代入上式得到：∂(lnz+2z+x^2y^2)/∂x = 4∂(lnz+2z+x^2y^2)/∂y = 4∂(lnz+2z+x^2y^2)/∂z = 3因此，该点处的法向量为 (4, 4, 3)。接下来，我们可以求该点处的切平面。记该点处的曲面方程为 F(x,y,z) = lnz+2z+x^2y^2-6，则该点处的切平面方程为：F_x(2,1,1)(x-2) + F_y(2,1,1)(y-1) + F_z(2,1,1)(z-1) = 0其中，F_x、F_y、F_z分别为F对x、y、z的偏导数。代入上面计算得到的偏导数，我们可以得到切平面的方程：4(x-2) + 4(y-1) + 3(z-1) = 0化简得到：4x + 4y + 3z = 19因此，该点处的切平面的方程为 4x + 4y + 3z = 19。最后，我们可以求出该点处的法线方程。根据法线向量的定义，该点处的法线方程为：4(x-2) + 4(y-1) + 3(z-1) = 0即4x + 4y + 3z = 19与切平面方程相同，这也是因为在该点处切平面和法线方程垂直。

问：求函数 f(x,y)=x^2+y^3-6x-12y+6 的极值.

答：为了求函数 f(x,y) = x^2 + y^3 - 6x - 12y + 6 的极值，需要先计算出该函数的偏导数，并解方程组找出梯度为零的点，即可能的极值点。首先，计算 f(x,y) 对 x 和 y 的偏导数：∂f/∂x = 2x - 6∂f/∂y = 3y^2 - 12然后，令偏导数等于零，并解方程组：2x - 6 = 03y^2 - 12 = 0解得 x = 3，y^2 = 4，y = ±2。得到两组可能的极值点 (3, 2) 和 (3, -2)。接下来，需要判断这两个点是否为极值点。可以通过计算二阶偏导数来判断。若二阶偏导数满足二次导数检验，即 f_xx*f_yy - f_xy^2 > 0，则该点为极值点。计算二阶偏导数：f_xx = 2f_yy = 6yf_xy = 0代入 (3, 2) 和 (3, -2) 两组可能的极值点：在点 (3, 2) 处，f_xxf_yy - f_xy^2 = 2 * (62) - 0 = 24 > 0，符合二次导数检验，说明该点为极小值点。在点 (3, -2) 处，f_xxf_yy - f_xy^2 = 2 * (6(-2)) - 0 = -24 < 0，不符合二次导数检验，说明该点不是极值点。因此，函数 f(x,y) 在点 (3, 2) 处有极小值。