Question

记Sn为数列｛an｝的前n项和，已知｛Sn/n｝为等差数列，证明：｛an｝为等差数列

Answer 1

问：记Sn为数列｛an｝的前n项和，已知｛Sn/n｝为等差数列，证明：｛an｝为等差数列

答：亲，您好，以下是我的证明过程:要证明数列 {an} 为等差数列，我们可以利用数列的性质和已知条件进行推导。已知 {Sn/n} 为等差数列，就是存在常数 d，使得：Sn/n = Sn-1/(n-1) + d我们可以通过数学归纳法来证明 {an} 为等差数列。首先，当 n = 2 时，根据已知条件有：S2/2 = S1/1 + d就是 a2 = a1 + d，这表明数列的前两项之差为常数 d，满足等差数列的定义。假设当 n = k 时，数列的前 k 项之差为常数 d，就是 ak = a1 + (k-1)d 成立。我们来证明当 n = k+1 时，数列的前 k+1 项之差也为常数 d。根据已知条件有：Sk+1/(k+1) = Sk/k + d把 Sk/k 展开为前 k 项的和的形式：Sk/k = (a1 + a2 + ... + ak)/k把 Sk+1/(k+1) 和 Sk/k 的表达式代入等式中，得到：(a1 + a2 + ... + ak)/k + d = (a1 + a2 + ... + ak)/k + d

答：这表明数列的前 k+1 项之差也为常数 d，满足等差数列的定义。综上所述，根据数学归纳法，我们可以证明数列 {an} 为等差数列。