Question

y′=(4x+3y+1)/(x+y+1)求通解

Answer 1

问：y′=(4x+3y+1)/(x+y+1)求通解

答：这是一个一阶非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法求解。 首先，我们需要求出对应的齐次线性微分方程的通解。对于齐次方程 $y' = \frac{4x + 3y}{x + y}$，可以使用变量分离法得到：$\frac{dy}{y} = \frac{4dx}{x} - \frac{3dy}{y}$ 移项得到：$(4x - 3y)dx + 3ydy = 0$ 对其进行积分，得到：$2x^2 - 3xy + y^2 = C_1$ 其中 $C_1$ 为常数。 接下来，我们需要求出非齐次方程的一个特解。根据常数变易法，我们可以假设特解为：$y = u(x)v(x)$ 其中 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是关于 $x$ 的函数。 将其代入非齐次方程，得到：$u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \frac{4x + 3u(x)v(x) + 1}{x + u(x)v(x) + 1}$ 移项得到：$u'(x)v(x) + u(x)v'(x) - \frac{3u(x)v(x)}{x + u(x)v(x) + 1} = \frac{4x + 1}{x + u(x)v(x) + 1}$ 我们需要选择 $u(x)$ 和 $v(x)$ 使得左边的式子可以化为一个完全微分形式。根据经验，我们可以选择 $u(x)$ 为常数，$v(x)$ 为 $x + 1$。这样，我们有：$u(x) = C_2, v(x) = x + 1$ 将其代入上式，得到：$\frac{C_2}{x + C_2(x + 1) + 1} = \frac{4x + 1}{x + C_2(x + 1) + 1}$ 解得：$C_2 = -\frac{1}{2}$ 因此，特解为：$y = -\frac{1}{2}(x + 1)$ 将通解和特解相加，得到非齐次方程的通解：$2x^2 - 3xy + y^2 = C_1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ 其中 $C_1$ 为常数。